Considere a função f(t) = { arctg(1/t), se t ≠ 0; 0, se t = 0 } e a função vetorial
r(t) = <raiz(t + 1), f(t), ln(t^2 + 1)>
(a) Determine o domínio de r.

Passo 1

Vamos lá, amigo! O que a gente tem aqui é uma função vetorial . Nosso objetivo é descobrir para quais valores de essa função está bem definida, ou seja, determinar o domínio de . Para isso, precisamos analisar cada componente da função vetorial:
  1. : Raiz quadrada exige que o que está dentro dela seja maior ou igual a zero.
  2. : Já foi definida no enunciado e precisamos ver se há restrições.
  3. : Logaritmo natural exige que o argumento seja maior que zero.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a primeira componente: .
Para a raiz quadrada estar definida:
Então, precisa ser maior ou igual a -1 para que a raiz quadrada seja válida.

Passo 3

Agora, vamos olhar para a função :
A função está definida para todos os números reais, exceto quando , mas no caso de , é igual a 0, que também é bem definido. Então, não há restrições para provenientes de .

Passo 4

Por último, vamos considerar .
Para o logaritmo natural estar definido:
Como é sempre não negativo e estamos somando 1, a expressão é sempre maior que zero para qualquer valor de . Portanto, não há restrições para provenientes dessa componente.

Passo 5

Agora, para encontrar o domínio de , precisamos considerar todas as restrições encontradas nas componentes. A única restrição que temos vem da primeira componente , que exige que . As outras componentes não impõem restrições adicionais.

Resposta

O domínio de é todos os números reais maiores ou iguais a -1. Ou seja:

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Considere a função f(t) = { arctg(1/t), se t ≠ 0; 0, se t = 0 } e a função vetorial
r(t) = <raiz(t + 1), f(t), ln(t^2 + 1)>
(b) Calcule o limite de r quando t -> 0, ou mostre que o limite não existe.