Para cada uma das séries de potências de x abaixo determine o intervalo de convergência: sumn=2^infty ln nn^3 x^n

Passo 1

Então, temos o exercício que nos pede para determinar o intervalo de convergência da série de potências:
sumn=2^infty ln nn^3 x^n
Aqui, vamos trabalhar com séries de potências, que são somas infinitas onde cada termo tem a forma . Para descobrir o intervalo de convergência, ou seja, os valores de para os quais a série converge, vamos precisar usar o Teste da Razão.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teste da Razão. Esse teste nos ajuda a determinar se uma série infinita converge ou diverge, calculando o limite do quociente entre termos consecutivos da série:
L = limn to infty | an+1an |
Se , a série converge; se , a série diverge; e se , o teste é inconclusivo.

Passo 3

Vamos aplicar o Teste da Razão à nossa série. Primeiro, identificamos an = ln nn^3 x^n :
an+1 = ln (n+1)(n+1)^3 x^n+1
Agora, calculamos an+1an = ln (n+1)(n+1)^3 x^n+1 cdot n^3ln n x^-n = ln (n+1)ln n cdot ( nn+1 )^3 cdot x :
O próximo passo é formar o quociente :

Passo 4

Agora, calculamos o limite L = limn to infty | ln (n+1)ln n cdot ( nn+1 )^3 cdot x | :
L = |x|
Vamos analisar cada parte desse limite:
  1. : Quando cresce, e ficam muito próximos, então esse quociente tende a 1.
  2. : Podemos reescrever como , que tende a 1 quando tende ao infinito.
Portanto, o limite simplifica para:

Passo 5

Aplicando o resultado do limite ao Teste da Razão:
  • Se , então , e a série converge.
  • Se , então , e a série diverge.
  • Se , o teste não é conclusivo, e precisaríamos verificar separadamente.

Passo 6

Agora, determinamos o intervalo de convergência com base nas condições acima:
|x| < 1 Rightarrow -1 < x < 1
Precisamos também verificar os pontos onde sumn=2^infty ln nn^3 cdot 1^n = sumn=2^infty ln nn^3 e sumn=2^infty ln nn^3 cdot (-1)^n .
Para :
Essa série converge, pois decresce e satisfaz os critérios do Teste da Integral.
Para :
Essa série também converge, pois os termos alternados satisfazem os critérios do Teste da Série Alternada.

Resposta

O intervalo de convergência da série é:
-1 <= x <= 1

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