(iv) Em cada um dos itens abaixo diga se a função é injetora, sobrejetora, bijetora:
e) f: (-pi/2, pi/2) -> R, dada por f(x) = tg(x), para x pertence a (-pi/2, pi/2) f, f:[0, infinito) -> R, dada por f(x) = x^2 + 4.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para dizer se a função dada é injetora, sobrejetora ou bijetora. A função que vamos analisar é:
Para resolver isso, vamos precisar entender o que são funções injetoras, sobrejetoras e bijetoras. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, função injetora. Uma função é injetora se cada valor de entrada (domínio) gera um valor de saída (contradomínio) único. Em outras palavras, não tem dois valores diferentes de que dão o mesmo .
No nosso caso, , e o domínio é . Como estamos considerando apenas , cada valor de vai dar um valor único de . Por exemplo, e , que são diferentes.

Passo 3

Agora, vamos falar sobre função sobrejetora. Uma função é sobrejetora se todo valor do contradomínio ( ) tem pelo menos um valor no domínio que o atinge. Ou seja, para todo , existe um tal que .
Mas olha só, nossa função sempre vai ser maior ou igual a 4, já que é sempre positivo ou zero. Assim, não existe que faça , por exemplo. Portanto, nem todo é atingido pela função.

Passo 4

Por fim, função bijetora. Uma função é bijetora se ela é ao mesmo tempo injetora e sobrejetora. Ou seja, cada elemento do domínio corresponde a um único elemento do contradomínio e vice-versa.
No nosso caso, vimos que a função é injetora, mas não é sobrejetora, já que não atinge todos os valores reais. Portanto, ela não é bijetora.

Resposta

A função definida em é injetora, mas não é sobrejetora, portanto não é bijetora.

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