(i) Calcule a área da região do plano
, delimitada pelas representações geométricas dos gráficos das curvas
e
.
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos calcular a área da região no plano
que é delimitada pelas curvas
,
,
e
. Utilizaremos conceitos de geometria e cálculo para resolver esse problema.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar e entender cada uma das curvas envolvidas:
-
: É uma reta. -
: É um círculo com raio 3, centrado na origem. -
: É um círculo com raio 2, também centrado na origem. -
: É o eixo .
Para visualizar melhor, imagine dois círculos concêntricos (com o mesmo centro na origem) e uma reta que corta esses círculos. A região que queremos encontrar está entre esses círculos e entre a reta e o eixo
.
Passo 3
Vamos encontrar os pontos de interseção entre as curvas para determinar os limites da região:
-
Interseção entre
e :
Substituindona equação do círculo: Assim, os pontos de interseção sãoe . -
Interseção entre
e :
Substituindona equação do círculo: Assim, os pontos de interseção sãoe .
Passo 4
Para calcular a área da região delimitada, vamos utilizar a integração em coordenadas polares, pois as figuras envolvidas são círculos e uma reta, o que facilita a parametrização.
Em coordenadas polares:
A reta
em coordenadas polares fica:
Passo 5
Determinado o ângulo de interseção
, podemos definir os limites de integração. A região que queremos calcular está entre os círculos de raio 2 e 3, desde o eixo
(
) até
.
Passo 6
A área em coordenadas polares é dada pela fórmula:
Onde:
-
(raio do círculo maior) -
(raio do círculo menor) -
-
Substituindo esses valores:
Passo 7
Integrando:
Resposta
A área da região delimitada pelas curvas é $ \frac{5}{2} \arctan(3) $ unidades de área.