(i) Calcule a área da região do plano x O y, delimitada pelas representações geométricas dos gráficos das curvas y = 3x, x^2 + y^2 = 9, x^2 + y^2 = 4 e y = 0.

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos calcular a área da região no plano que é delimitada pelas curvas , , e . Utilizaremos conceitos de geometria e cálculo para resolver esse problema.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar e entender cada uma das curvas envolvidas:
  • : É uma reta.
  • : É um círculo com raio 3, centrado na origem.
  • : É um círculo com raio 2, também centrado na origem.
  • : É o eixo x.
Para visualizar melhor, imagine dois círculos concêntricos (com o mesmo centro na origem) e uma reta que corta esses círculos. A região que queremos encontrar está entre esses círculos e entre a reta e o eixo x.

Passo 3

Vamos encontrar os pontos de interseção entre as curvas para determinar os limites da região:
  1. Interseção entre e :
    Substituindo na equação do círculo:
    Assim, os pontos de interseção são e .
  2. Interseção entre e :
    Substituindo na equação do círculo:
    Assim, os pontos de interseção são e .

Passo 4

Para calcular a área da região delimitada, vamos utilizar a integração em coordenadas polares, pois as figuras envolvidas são círculos e uma reta, o que facilita a parametrização.
Em coordenadas polares:
A reta em coordenadas polares fica:

Passo 5

Determinado o ângulo de interseção , podemos definir os limites de integração. A região que queremos calcular está entre os círculos de raio 2 e 3, desde o eixo x ( ) até .

Passo 6

A área em coordenadas polares é dada pela fórmula:
Onde:
  • (raio do círculo maior)
  • (raio do círculo menor)
Substituindo esses valores:

Passo 7

Integrando:

Resposta

A área da região delimitada pelas curvas é $ \frac{5}{2} \arctan(3) $ unidades de área.

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