Um ponto se move de tal modo que a razão de suas distâncias a dois pontos fixos é uma constante c != 1. Mostre que o lugar geométrico desses pontos é uma circunferência.

Passo 1

Então, temos um ponto que se move de tal forma que a razão das suas distâncias a dois pontos fixos é uma constante . O que queremos descobrir é qual é o conjunto de todos esses pontos móveis, ou seja, o seu lugar geométrico. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especialmente o estudo de circunferências.

Passo 2

Vamos começar definindo os dois pontos fixos. Para facilitar os cálculos, podemos colocá-los no sistema de coordenadas. Vamos chamar os pontos fixos de e , e colocá-los no eixo , em e , onde é uma constante positiva.

Passo 3

Agora, vamos chamar o ponto móvel de . A condição dada é que a razão das distâncias de aos pontos e é , ou seja:
Onde representa a distância entre e .

Passo 4

Vamos expressar as distâncias utilizando a fórmula da distância entre dois pontos:
Substituindo na razão, temos:

Passo 5

Para simplificar a equação, vamos elevar ambos os lados ao quadrado:
Agora, multiplicamos ambos os lados por :

Passo 6

Vamos expandir os termos:
Agora, vamos trazer todos os termos para o lado esquerdo da equação:

Passo 7

Agrupando os termos semelhantes:
Podemos fatorar :

Passo 8

Dividindo toda a equação por (como , isso é válido):
Vamos completar o quadrado para o termo em :
Completa o quadrado:
Simplificando o lado direito:
Assim, temos a equação de uma circunferência com centro em e raio .

Resposta

O lugar geométrico dos pontos é uma circunferência com centro em e raio .

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