Um ponto se move de tal modo que a razão de suas distâncias a dois pontos fixos é uma constante
. Mostre que o lugar geométrico desses pontos é uma circunferência.
Passo 1
Então, temos um ponto que se move de tal forma que a razão das suas distâncias a dois pontos fixos é uma constante
. O que queremos descobrir é qual é o conjunto de todos esses pontos móveis, ou seja, o seu lugar geométrico. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especialmente o estudo de circunferências.
Passo 2
Vamos começar definindo os dois pontos fixos. Para facilitar os cálculos, podemos colocá-los no sistema de coordenadas. Vamos chamar os pontos fixos de
e
, e colocá-los no eixo
, em
e
, onde
é uma constante positiva.
Passo 3
Agora, vamos chamar o ponto móvel de
. A condição dada é que a razão das distâncias de
aos pontos
e
é
, ou seja:
Onde
representa a distância entre
e
.
Passo 4
Vamos expressar as distâncias utilizando a fórmula da distância entre dois pontos:
Substituindo na razão, temos:
Passo 5
Para simplificar a equação, vamos elevar ambos os lados ao quadrado:
Agora, multiplicamos ambos os lados por
:
Passo 6
Vamos expandir os termos:
Agora, vamos trazer todos os termos para o lado esquerdo da equação:
Passo 7
Agrupando os termos semelhantes:
Podemos fatorar
:
Passo 8
Dividindo toda a equação por
(como
, isso é válido):
Vamos completar o quadrado para o termo em
:
Completa o quadrado:
Simplificando o lado direito:
Assim, temos a equação de uma circunferência com centro em
e raio
.
Resposta
O lugar geométrico dos pontos é uma circunferência com centro em
e raio
.