Em cada um dos itens abaixo, encontre uma equação para o plano pi.
(i) pi contém o ponto A=(3,1,-1) e é perpendicular à reta de equação (x, y, z)=(5,5,5)+ t(0,8,-2)(t in R).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a equação de um plano pi que passa pelo ponto A=(3,1,-1) e é perpendicular a uma reta dada pela equação paramétrica (x, y, z)=(5,5,5)+t(0,8,-2). Para isso, vamos usar conhecimentos de geometria analítica, especificamente sobre planos e retas no espaço tridimensional. Precisamos identificar o vetor normal ao plano e usar o ponto A para formular a equação do plano.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o vetor diretor da reta dada. A equação paramétrica da reta é (x, y, z)=(5,5,5)+t(0,8,-2), onde (0,8,-2) é o vetor diretor da reta. Como o plano pi é perpendicular a essa reta, o vetor diretor da reta será o vetor normal ao plano. Então, o vetor normal n do plano é n = (0,8,-2).

Passo 3

Agora que temos o vetor normal n = (0,8,-2) e um ponto A=(3,1,-1) que pertence ao plano, podemos usar a equação geral do plano. A equação de um plano é dada por:
a(x - x0) + b(y - y0) + c(z - z0) = 0
onde (a, b, c) são as componentes do vetor normal e (x0, y0, z0) é um ponto no plano. Substituindo os valores que temos:
0(x - 3) + 8(y - 1) - 2(z - (-1)) = 0

Passo 4

Vamos simplificar essa equação passo a passo:
  1. Distribuir os coeficientes:
0 cdot (x - 3) + 8 cdot (y - 1) - 2 cdot (z + 1) = 0
Isso simplifica para:
0 + 8y - 8 - 2z - 2 = 0
  1. Somar os termos constantes:
8y - 2z - 10 = 0

Passo 5

Para deixar a equação mais elegante, podemos reorganizar os termos:
8y - 2z = 10
Podemos ainda simplificar dividindo todos os termos por 2:
4y - z = 5

Resposta

A equação do plano pi é 4y - z = 5.

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