Em cada um dos itens abaixo, encontre uma equação para o plano
.
(i)
contém o ponto
e é perpendicular à reta de equação
.
(i)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a equação de um plano
que passa pelo ponto
e é perpendicular a uma reta dada pela equação paramétrica
. Para isso, vamos usar conhecimentos de geometria analítica, especificamente sobre planos e retas no espaço tridimensional. Precisamos identificar o vetor normal ao plano e usar o ponto
para formular a equação do plano.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o vetor diretor da reta dada. A equação paramétrica da reta é
, onde
é o vetor diretor da reta. Como o plano
é perpendicular a essa reta, o vetor diretor da reta será o vetor normal ao plano. Então, o vetor normal
do plano é
.
Passo 3
Agora que temos o vetor normal
e um ponto
que pertence ao plano, podemos usar a equação geral do plano. A equação de um plano é dada por:
onde
são as componentes do vetor normal e
é um ponto no plano. Substituindo os valores que temos:
Passo 4
Vamos simplificar essa equação passo a passo:
- Distribuir os coeficientes:
Isso simplifica para:
- Somar os termos constantes:
Passo 5
Para deixar a equação mais elegante, podemos reorganizar os termos:
Podemos ainda simplificar dividindo todos os termos por 2:
Resposta
A equação do plano
é
.