Em cada um dos itens abaixo, encontre uma equação para o plano .
(i) contém o ponto e é perpendicular à reta de equação .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a equação de um plano que passa pelo ponto e é perpendicular a uma reta dada pela equação paramétrica . Para isso, vamos usar conhecimentos de geometria analítica, especificamente sobre planos e retas no espaço tridimensional. Precisamos identificar o vetor normal ao plano e usar o ponto para formular a equação do plano.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o vetor diretor da reta dada. A equação paramétrica da reta é , onde é o vetor diretor da reta. Como o plano é perpendicular a essa reta, o vetor diretor da reta será o vetor normal ao plano. Então, o vetor normal do plano é .

Passo 3

Agora que temos o vetor normal e um ponto que pertence ao plano, podemos usar a equação geral do plano. A equação de um plano é dada por:
onde são as componentes do vetor normal e é um ponto no plano. Substituindo os valores que temos:

Passo 4

Vamos simplificar essa equação passo a passo:
  1. Distribuir os coeficientes:
Isso simplifica para:
  1. Somar os termos constantes:

Passo 5

Para deixar a equação mais elegante, podemos reorganizar os termos:
Podemos ainda simplificar dividindo todos os termos por 2:

Resposta

A equação do plano é .

Exercícios relacionados

Calcular a distância entre as retas e nos seguintes casos:
(a) e ;
(b) e ;
© e ;
(d) e ;
(e) e : eixo .
Seja . Em cada item, verifique se a matriz dada é ortogonal a em relação ao produto interno do Exercício anterior:
Dadas as matrizes
Determine os parâmetros e tais que e .
Determine os pontos em que a reta intercepta a parábola .