Em cada um dos itens abaixo, encontre uma equação para o plano .
(i) contém o ponto e é perpendicular à reta de equação .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a equação de um plano que passa pelo ponto e é perpendicular a uma reta dada pela equação paramétrica . Para isso, vamos usar conhecimentos de geometria analítica, especificamente sobre planos e retas no espaço tridimensional. Precisamos identificar o vetor normal ao plano e usar o ponto para formular a equação do plano.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o vetor diretor da reta dada. A equação paramétrica da reta é , onde é o vetor diretor da reta. Como o plano é perpendicular a essa reta, o vetor diretor da reta será o vetor normal ao plano. Então, o vetor normal do plano é .
Passo 3
Agora que temos o vetor normal e um ponto que pertence ao plano, podemos usar a equação geral do plano. A equação de um plano é dada por:
onde são as componentes do vetor normal e é um ponto no plano. Substituindo os valores que temos:
Passo 4
Vamos simplificar essa equação passo a passo:
Distribuir os coeficientes:
Isso simplifica para:
Somar os termos constantes:
Passo 5
Para deixar a equação mais elegante, podemos reorganizar os termos:
Podemos ainda simplificar dividindo todos os termos por 2: