Em cada um dos itens abaixo, encontre uma equação para o plano .
(iii) contém o ponto e a reta de equação .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação de um plano que passa pelo ponto e também contém uma reta dada por . Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como vetores e equações de planos.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar dois vetores que estão no plano . Sabemos que a reta dada está no plano, então o vetor diretor dessa reta também está no plano. O vetor diretor é .
Passo 3
Agora, precisamos de outro vetor que esteja no plano. Podemos obter esse vetor ligando o ponto a um ponto qualquer da reta. Vamos escolher na equação da reta, o que nos dá o ponto . Então, o vetor que liga a é:
Passo 4
Agora temos dois vetores no plano: e . Para encontrar a equação do plano, precisamos de um vetor normal ao plano, que podemos obter calculando o produto vetorial desses dois vetores.
Calculando o determinante:
n = i cdot [(-1)(3) - (3)(-1)] - j cdot [(5)(3) - (3)(1)] + k cdot [(5)(-1) - (-1)(1)]
n = i cdot (-3 + 3) - j cdot (15 - 3) + k cdot (-5 +1)
n = i cdot 0 - j cdot 12 + k cdot (-4)
Então, o vetor normal é:
n = (0, -12, -4)
Podemos simplificar dividindo por -4:
n = (0, 3, 1)
Passo 5
Com o vetor normal n = (0, 3, 1) e o ponto A=(3,0,-2) no plano, podemos usar a equação geral do plano: