Em cada um dos itens abaixo, encontre uma equação para o plano pi.
(iii) pi contém o ponto A=(3,0,-2) e a reta de equação (x, y, z)=(2,1,-5)+t(5,-1,3)(t in R).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação de um plano pi que passa pelo ponto A=(3,0,-2) e também contém uma reta dada por (x, y, z)=(2,1,-5)+t(5,-1,3). Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como vetores e equações de planos.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar dois vetores que estão no plano pi. Sabemos que a reta dada está no plano, então o vetor diretor dessa reta também está no plano. O vetor diretor é (5, -1, 3).

Passo 3

Agora, precisamos de outro vetor que esteja no plano. Podemos obter esse vetor ligando o ponto A=(3,0,-2) a um ponto qualquer da reta. Vamos escolher t=0 na equação da reta, o que nos dá o ponto (2,1,-5). Então, o vetor que liga (2,1,-5) a A é:
v = A - (2,1,-5) = (3-2, 0-1, -2-(-5)) = (1, -1, 3)

Passo 4

Agora temos dois vetores no plano: u = (5, -1, 3) e v = (1, -1, 3). Para encontrar a equação do plano, precisamos de um vetor normal ao plano, que podemos obter calculando o produto vetorial desses dois vetores.
n = u times v = i & j & k 5 & -1 & 3 1 & -1 & 3
Calculando o determinante:
n = i cdot [(-1)(3) - (3)(-1)] - j cdot [(5)(3) - (3)(1)] + k cdot [(5)(-1) - (-1)(1)]
n = i cdot (-3 + 3) - j cdot (15 - 3) + k cdot (-5 +1)
n = i cdot 0 - j cdot 12 + k cdot (-4)
Então, o vetor normal é:
n = (0, -12, -4)
Podemos simplificar dividindo por -4:
n = (0, 3, 1)

Passo 5

Com o vetor normal n = (0, 3, 1) e o ponto A=(3,0,-2) no plano, podemos usar a equação geral do plano:
nx(x - x0) + ny(y - y0) + nz(z - z0) = 0
Substituindo os valores:
0(x - 3) + 3(y - 0) + 1(z - (-2)) = 0
Simplificando:
0 + 3y + z + 2 = 0
Ou seja:
3y + z + 2 = 0

Resposta

A equação do plano pi é 3y + z + 2 = 0.

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