Em cada um dos itens abaixo, encontre uma equação para o plano .
(iii) contém o ponto e a reta de equação .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação de um plano que passa pelo ponto e também contém uma reta dada por . Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como vetores e equações de planos.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar dois vetores que estão no plano . Sabemos que a reta dada está no plano, então o vetor diretor dessa reta também está no plano. O vetor diretor é .

Passo 3

Agora, precisamos de outro vetor que esteja no plano. Podemos obter esse vetor ligando o ponto a um ponto qualquer da reta. Vamos escolher na equação da reta, o que nos dá o ponto . Então, o vetor que liga a é:

Passo 4

Agora temos dois vetores no plano: e . Para encontrar a equação do plano, precisamos de um vetor normal ao plano, que podemos obter calculando o produto vetorial desses dois vetores.
Calculando o determinante:
Então, o vetor normal é:
Podemos simplificar dividindo por -4:

Passo 5

Com o vetor normal e o ponto no plano, podemos usar a equação geral do plano:
Substituindo os valores:
Simplificando:
Ou seja:

Resposta

A equação do plano é .

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Em cada item abaixo, mostre que as retas e determinam um plano e obtenha uma equação geral de tal plano.
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apresentando uma interpretação geométrica.
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é um subespaço do espaço vetorial .