Mostre que o seguinte subconjunto
S=f in C([0,1]) mid integral0^1 f(x) d x=0
é um subespaço do espaço vetorial C([0,1]).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrarmos que o conjunto é um subespaço do espaço vetorial . Isso está dentro da matéria de Álgebra Linear, especificamente sobre espaços vetoriais e subespaços. Para resolver, vamos precisar verificar se satisfaz três condições básicas para ser um subespaço: conter o vetor zero, ser fechado para adição e ser fechado para multiplicação por escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos ver se integral0^1 f(x) , dx = integral0^1 0 , dx = 0 não está vazio, ou seja, se contém o vetor zero. No nosso caso, o vetor zero é a função que é zero em todo o intervalo .
A função zero é para todo . Vamos calcular a integral dessa função:
Então, a função zero pertence a , ou seja, não está vazio.

Passo 3

Agora, vamos verificar se integral0^1 f(x) , dx = 0 e integral0^1 g(x) , dx = 0 é fechado para adição. Isso significa que, se pegarmos duas funções integral0^1 (f(x) + g(x)) , dx = integral0^1 f(x) , dx + integral0^1 g(x) , dx = 0 + 0 = 0 e que estão em , a soma delas também deve estar em .
Sabemos que e , então:
Vamos calcular a integral da soma :
Portanto, , ou seja, é fechado para adição.

Passo 4

Por último, vamos verificar se integral0^1 f(x) , dx = 0 é fechado para multiplicação por escalar. Isso significa que, se tivermos uma função integral0^1 c cdot f(x) , dx = c cdot integral0^1 f(x) , dx = c cdot 0 = 0 em e um escalar , a função também deve estar em .
Sabemos que , então:
Vamos calcular a integral de :
Assim, , ou seja, é fechado para multiplicação por escalar.

Resposta

Como contém o vetor zero, é fechado para adição e para multiplicação por escalar, concluímos que é um subespaço do espaço vetorial .

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