Mostre que o seguinte subconjunto
é um subespaço do espaço vetorial .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrarmos que o conjunto é um subespaço do espaço vetorial . Isso está dentro da matéria de Álgebra Linear, especificamente sobre espaços vetoriais e subespaços. Para resolver, vamos precisar verificar se satisfaz três condições básicas para ser um subespaço: conter o vetor zero, ser fechado para adição e ser fechado para multiplicação por escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos ver se não está vazio, ou seja, se contém o vetor zero. No nosso caso, o vetor zero é a função que é zero em todo o intervalo .
A função zero é para todo . Vamos calcular a integral dessa função:
Então, a função zero pertence a , ou seja, não está vazio.

Passo 3

Agora, vamos verificar se é fechado para adição. Isso significa que, se pegarmos duas funções e que estão em , a soma delas também deve estar em .
Sabemos que e , então:
Vamos calcular a integral da soma :
Portanto, , ou seja, é fechado para adição.

Passo 4

Por último, vamos verificar se é fechado para multiplicação por escalar. Isso significa que, se tivermos uma função em e um escalar , a função também deve estar em .
Sabemos que , então:
Vamos calcular a integral de :
Assim, , ou seja, é fechado para multiplicação por escalar.

Resposta

Como contém o vetor zero, é fechado para adição e para multiplicação por escalar, concluímos que é um subespaço do espaço vetorial .

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