Mostre que o seguinte subconjunto
é um subespaço do espaço vetorial
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrarmos que o conjunto
é um subespaço do espaço vetorial
. Isso está dentro da matéria de Álgebra Linear, especificamente sobre espaços vetoriais e subespaços. Para resolver, vamos precisar verificar se
satisfaz três condições básicas para ser um subespaço: conter o vetor zero, ser fechado para adição e ser fechado para multiplicação por escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos ver se
não está vazio, ou seja, se contém o vetor zero. No nosso caso, o vetor zero é a função que é zero em todo o intervalo
.
A função zero é
para todo
. Vamos calcular a integral dessa função:
Então, a função zero pertence a
, ou seja,
não está vazio.
Passo 3
Agora, vamos verificar se
é fechado para adição. Isso significa que, se pegarmos duas funções
e
que estão em
, a soma delas
também deve estar em
.
Sabemos que
e
, então:
Vamos calcular a integral da soma
:
Portanto,
, ou seja,
é fechado para adição.
Passo 4
Por último, vamos verificar se
é fechado para multiplicação por escalar. Isso significa que, se tivermos uma função
em
e um escalar
, a função
também deve estar em
.
Sabemos que
, então:
Vamos calcular a integral de
:
Assim,
, ou seja,
é fechado para multiplicação por escalar.
Resposta
Como
contém o vetor zero, é fechado para adição e para multiplicação por escalar, concluímos que
é um subespaço do espaço vetorial
.
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Em cada um dos itens abaixo, encontre uma equação para o plano
.
(iii) contém o ponto
e a reta de equação
.
(iii)
Em cada item abaixo, mostre que as retas
e
determinam um plano
e obtenha uma equação geral de tal plano.
Considere a transformação linear
definida por:
Determine
, onde
é a base canônica de
e
é a base canônica de
.