Em cada um dos itens abaixo, faça o gráfico da superfície cilíndrica.
(i)
.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para fazermos o gráfico de uma superfície cilíndrica que é definida pela equação
. Isso está relacionado com o conteúdo de geometria analítica e funções periódicas. Para resolver, vamos entender como essa equação se comporta no espaço tridimensional e como ela forma uma superfície cilíndrica.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma superfície cilíndrica. Basicamente, é uma superfície gerada por uma curva (no caso,
) que se estende infinitamente em uma direção paralela ao eixo que não está na curva original. Aqui, a curva
está no plano
, então a extensão será ao longo do eixo
.
Passo 3
Agora, vamos visualizar a curva
no plano
. Essa é a famosa curva senoidal, que oscila entre -1 e 1 conforme o valor de
varia. Cada ponto dessa curva tem um valor de
que depende de
através da função seno.
Passo 4
Para transformar essa curva em uma superfície cilíndrica, imaginamos que essa onda senoidal se repete ao longo de todo o eixo
. Ou seja, para qualquer valor de
, a equa�o
se mantém válida. Isso significa que, ao invés de ter apenas uma curva, temos uma “parede” ondulada que vai para frente e para trás ao longo do eixo
.
Passo 5
Matematicamente, podemos representar essa superfície como
, onde
pode ser qualquer número real. Isso implica que, para cada
, a relação entre
e
é a mesma da função seno. Assim, o gráfico será uma série infinita de ondas senoidais estendidas ao longo do eixo
.
Resposta
A superfície cilíndrica definida por
é uma onda senoidal que se estende infinitamente ao longo do eixo
. Visualmente, é como uma “parede” ondulada onde, para cada posição de
, a relação entre
e
segue a função seno. Isso resulta em uma superfície que oscila entre
e
ao longo do eixo
, permanecendo constante em todas as direções de
.