F(x, y, z) = -GMm/r^3 r, onde r = (x, y, z), r = ||r|| = raiz(x^2 + y^2 + z^2) e G é a constante de gravitação universal. Verifique que F é o vetor gradiente da função f(x, y, z) = GMm / r

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um vetor força , onde e . Queremos verificar se esse vetor força é o gradiente da função escalar . Para isso, vamos precisar usar o conceito de gradiente em cálculo vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o gradiente. O gradiente de uma função escalar f(x, y, z) é um vetor que aponta na direção de maior aumento de f e é dado por:
Então, nosso objetivo é calcular nabla f para a função dada e ver se ela coincide com F.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de em relação a x, y e z. Primeiro, precisamos expressar r em termos de x, y e z:
A derivada de r em relação a x é:
Usando a regra da cadeia, a derivada de f em relação a x é:
De maneira similar, temos:

Passo 4

Agora, juntando as derivadas parciais, o gradiente de f fica:
Isso pode ser escrito de forma vetorial como:

Passo 5

Comparando com a expressão dada para F:
Vemos que:

Resposta

Portanto, verificamos que F é de fato o vetor gradiente da função .

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