, onde
e G é a constante de gravitação universal. Verifique que
é o vetor gradiente da função
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um vetor força
, onde
e
. Queremos verificar se esse vetor força é o gradiente da função escalar
. Para isso, vamos precisar usar o conceito de gradiente em cálculo vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o gradiente. O gradiente de uma função escalar
é um vetor que aponta na direção de maior aumento de
e é dado por:
Então, nosso objetivo é calcular
para a função dada e ver se ela coincide com
.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
,
e
. Primeiro, precisamos expressar
em termos de
,
e
:
A derivada de
em relação a
é:
Usando a regra da cadeia, a derivada de
em relação a
é:
De maneira similar, temos:
Passo 4
Agora, juntando as derivadas parciais, o gradiente de
fica:
Isso pode ser escrito de forma vetorial como:
Passo 5
Comparando com a expressão dada para
:
Vemos que:
Resposta
Portanto, verificamos que
é de fato o vetor gradiente da função
.