Considere duas variáveis aleatórias contínuas, X e Y . Se z=f(x, y) é uma densidade de probabilidade conjunta conhecida, então a probabilidade de X e Y assumirem os valores a< X e c é dado por:
P(a
Os valores esperados para X e Y é dado por:
mux=integral-infty^infty integral-infty^infty x f(x, y) d y d x е muy=integral-infty^infty integral-infty^infty y f(x, y) d y d x е
Sabendo que,
f(x, y)=ll 0,1 e^-(0,5 x+0,2 y), & se x, y >= 0 0, & caso contrário á
Determine P(0;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente calcular a probabilidade de duas variáveis aleatórias contínuas, X e Y, estarem entre 0 e 1 simultaneamente. Isso envolve trabalhar com funções de densidade de probabilidade conjunta. Para resolver, vamos precisar entender como integrar essa função de densidade no intervalo dado.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a função de densidade conjunta f(x, y) = 0,1 cdot e^-(0,5x + 0,2y) & se x, y >= 0 0 & caso contrário que foi dada:
á
Como estamos interessados em e , vamos usar a parte da função onde .

Passo 3

A probabilidade que queremos encontrar é dada pela dupla integral da função de densidade sobre os intervalos de X e Y:
P(0 < X < 1 ; 0 < Y < 1) = integral0^1 integral0^1 0,1 cdot e^-(0,5x + 0,2y) , dy , dx

Passo 4

Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a Y:
integral0^1 e^-0,2y , dy
A antiderivada de -5 e^-0,2(1) + 5 e^-0,2(0) = -5 e^-0,2 + 5 = 5 (1 - e^-0,2) é . Avaliando de 0 a 1:

Passo 5

Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
P = 0,1 cdot integral0^1 e^-0,5x cdot 5 (1 - e^-0,2) , dx = 0,5 (1 - e^-0,2) integral0^1 e^-0,5x , dx

Passo 6

Vamos resolver a integral restante em relação a X:
integral0^1 e^-0,5x , dx
A antiderivada de -2 e^-0,5(1) + 2 e^-0,5(0) = -2 e^-0,5 + 2 = 2 (1 - e^-0,5) é . Avaliando de 0 a 1:

Passo 7

Substituindo de volta na expressão para P:
P = 0,5 (1 - e^-0,2) cdot 2 (1 - e^-0,5) = (1 - e^-0,2)(1 - e^-0,5)

Passo 8

Calculando os valores numéricos:
e^-0,2 approx 0,8187 e e^-0,5 approx 0,6065
Então:
P approx (1 - 0,8187)(1 - 0,6065) = (0,1813)(0,3935) approx 0,0714

Resposta

A probabilidade de e é aproximadamente 0,0714, ou 7,14%.

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