Considere duas variáveis aleatórias contínuas, X e Y . Se
é uma densidade de probabilidade conjunta conhecida, então a probabilidade de X e Y assumirem os valores
e
é dado por:
Os valores esperados para X e Y é dado por:
Sabendo que,
Determine
;
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente calcular a probabilidade de duas variáveis aleatórias contínuas, X e Y, estarem entre 0 e 1 simultaneamente. Isso envolve trabalhar com funções de densidade de probabilidade conjunta. Para resolver, vamos precisar entender como integrar essa função de densidade no intervalo dado.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a função de densidade conjunta
que foi dada:
Como estamos interessados em
e
, vamos usar a parte da função onde
.
Passo 3
A probabilidade que queremos encontrar é dada pela dupla integral da função de densidade sobre os intervalos de X e Y:
Passo 4
Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a Y:
A antiderivada de
é
. Avaliando de 0 a 1:
Passo 5
Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
Passo 6
Vamos resolver a integral restante em relação a X:
A antiderivada de
é
. Avaliando de 0 a 1:
Passo 7
Substituindo de volta na expressão para P:
Passo 8
Calculando os valores numéricos:
Então:
Resposta
A probabilidade de
e
é aproximadamente 0,0714, ou 7,14%.