Considere duas variáveis aleatórias contínuas, X e Y . Se
é uma densidade de probabilidade conjunta conhecida, então a probabilidade de X e Y assumirem os valores
e
é dado por:
Os valores esperados para X e Y é dado por:
Sabendo que,
Determine
;
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente determinar
, ou seja, a probabilidade de que a variável aleatória
seja maior que 1. Estamos trabalhando com variáveis aleatórias contínuas e usando uma densidade de probabilidade conjunta
. Para resolver isso, vamos precisar entender como integrar essa densidade para encontrar a probabilidade desejada.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a probabilidade
pode ser encontrada integrando a densidade de probabilidade
sobre todos os valores possíveis de
e
que satisfazem
. Matematicamente, isso fica assim:
Aqui, os limites de integração para
vão de 0 até infinito porque
é diferente de zero apenas quando
e
.
Passo 3
Vamos substituir a função
dada no enunciado na integral:
Então, a integral fica:
Passo 4
Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a
:
Aqui, separei os termos que dependem de
e
para facilitar a integração.
Passo 5
Agora, vamos integrar
em relação a
de 1 até infinito:
Simplificando:
Passo 6
Substituindo de volta na integral original:
Aqui, multiplicamos os constantes e reorganizamos a expressão.
Passo 7
Agora, vamos resolver a integral restante em relação a
:
Passo 8
Substituindo de volta:
Resposta
A probabilidade
é igual a
, aproximadamente 0,8187.