Considere duas variáveis aleatórias contínuas, X e Y . Se z=f(x, y) é uma densidade de probabilidade conjunta conhecida, então a probabilidade de X e Y assumirem os valores a< X e c é dado por:
P(a
Os valores esperados para X e Y é dado por:
mux=integral-infty^infty integral-infty^infty x f(x, y) d y d x е muy=integral-infty^infty integral-infty^infty y f(x, y) d y d x е
Sabendo que,
f(x, y)=ll 0,1 e^-(0,5 x+0,2 y), & se x, y >= 0 0, & caso contrário á
Determine P(Y>1);

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente determinar , ou seja, a probabilidade de que a variável aleatória seja maior que 1. Estamos trabalhando com variáveis aleatórias contínuas e usando uma densidade de probabilidade conjunta . Para resolver isso, vamos precisar entender como integrar essa densidade para encontrar a probabilidade desejada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a probabilidade P(Y > 1) = integral0^infty integral1^infty f(x, y) , dy , dx pode ser encontrada integrando a densidade de probabilidade sobre todos os valores possíveis de e que satisfazem . Matematicamente, isso fica assim:
Aqui, os limites de integração para vão de 0 até infinito porque é diferente de zero apenas quando e .

Passo 3

Vamos substituir a função f(x, y) = 0.1 , e^-(0.5x + 0.2y) para x, y >= 0 dada no enunciado na integral:
P(Y > 1) = integral0^infty integral1^infty 0.1 , e^-(0.5x + 0.2y) , dy , dx
Então, a integral fica:

Passo 4

Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a integral1^infty 0.1 , e^-(0.5x + 0.2y) , dy = 0.1 , e^-0.5x integral1^infty e^-0.2y , dy :
Aqui, separei os termos que dependem de e para facilitar a integração.

Passo 5

Agora, vamos integrar integral1^infty e^-0.2y , dy = [ -10.2 e^-0.2y ]1^infty = 0 - ( -10.2 e^-0.2 times 1 ) = 10.2 e^-0.2 em relação a 10.2 = 5 então 5 , e^-0.2 de 1 até infinito:
Simplificando:
ã

Passo 6

Substituindo de volta na integral original:
P(Y > 1) = integral0^infty 0.1 , e^-0.5x times 5 , e^-0.2 , dx = 0.5 , e^-0.2 integral0^infty e^-0.5x , dx
Aqui, multiplicamos os constantes e reorganizamos a expressão.

Passo 7

Agora, vamos resolver a integral restante em relação a integral0^infty e^-0.5x , dx = [ -10.5 e^-0.5x ]0^infty = 0 - ( -10.5 e^0 ) = 10.5 times 1 = 2 :

Passo 8

Substituindo de volta:
P(Y > 1) = 0.5 , e^-0.2 times 2 = e^-0.2

Resposta

A probabilidade é igual a , aproximadamente 0,8187.

Exercícios relacionados