Em cada um dos itens abaixo, mostre que os planos e são paralelos e calcule distância entre eles.
(ii) .
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois planos:
Plano π₁ definido pelas equações paramétricas: x = 2 - lambda - mu y = mu z = lambda (lambda, mu in R)
Plano π₂ definido pela equação: x + y + z = 52
Queremos mostrar que esses dois planos são paralelos e calcular a distância entre eles. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre vetores normais e distâncias entre planos paralelos.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a vetor normal de cada plano. A vetor normal de um plano é um vetor perpendicular ao plano.
Para o plano π₂, que está na forma padrão n2 = (1, 1, 1) , a vetor normal é simplesmente x = 2 - lambda - mu y = mu z = lambda . No nosso caso:
r = (2, 0, 0) + lambda(-1, 0, 1) + mu(-1, 1, 0)
Para o plano π₁, como está dado de forma paramétrica, precisamos encontrar duas vetores diretores e então calcular o produto vetorial para obter a vetor normal.
A partir das equações paramétricas de π₁:
n1 = u times v = i & j & k -1 & 0 & 1 -1 & 1 & 0 = ( -1(0) - 1(1), 1(-1) - (-1)(0), -1(1) - 0(-1) ) = (-1, -1, -1)
Podemos reescrever como:
Então, os vetores diretores são e .
Agora, calculamos o produto vetorial para encontrar a vetor normal de π₁:
Passo 3
Agora que temos as vetores normais dos dois planos:
n1 = (-1, -1, -1) e n2 = (1, 1, 1)
Observamos que é um múltiplo de (-1 vez). Isso significa que as duas vetores normais são paralelos.
Quando os vetores normais de dois planos são paralelos, os próprios planos são também paralelos. Assim, podemos concluir que os planos π₁ e π₂ são paralelos.
Passo 4
Agora, vamos calcular a distância entre os dois planos paralelos. A fórmula para a distância d = |D2 - D1||n| entre dois planos paralelos -1(x) -1(y) -1(z) + D1 = 0 e -1(2) -1(0) -1(0) + D1 = 0 Rightarrow -2 + D1 = 0 Rightarrow D1 = 2 é:
1(x) + 1(y) + 1(z) - 52 = 0
Primeiro, precisamos trazer o plano π₁ para a forma padrão. Sabemos que π₁ tem a vetor normal d = |D2 - D1||n2| = | -52 - 2 |raiz1^2 + 1^2 + 1^2 = | -92 |raiz3 = 92raiz3 = 92raiz3 = 3raiz32 e passa pelo ponto .
A equação do plano π₁ na forma será:
Substituindo o ponto :
Já para o plano π₂, temos , que podemos reescrever como:
Então, .
Agora, calculamos a distância:
Resposta
Os planos π₁ e π₂ são paralelos, e a distância entre eles é .