Em cada um dos itens abaixo, mostre que os planos e são paralelos e calcule distância entre eles. (ii) .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois planos: - **Plano π₁** definido pelas equações paramétricas: - **Plano π₂** definido pela equação: Queremos mostrar que esses dois planos são paralelos e calcular a distância entre eles. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre vetores normais e distâncias entre planos paralelos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a **vetor normal** de cada plano. A vetor normal de um plano é um vetor perpendicular ao plano. - Para o **plano π₂**, que está na forma padrão , a vetor normal é simplesmente . No nosso caso: - Para o **plano π₁**, como está dado de forma paramétrica, precisamos encontrar duas **vetores diretores** e então calcular o produto vetorial para obter a vetor normal. A partir das equações paramétricas de π₁: Podemos reescrever como: Então, os vetores diretores são e . Agora, calculamos o produto vetorial para encontrar a vetor normal de π₁:

Passo 3

Agora que temos as vetores normais dos dois planos: Observamos que é um múltiplo de (-1 vez). Isso significa que as duas vetores normais são paralelos. Quando os vetores normais de dois planos são paralelos, os próprios planos são também **paralelos**. Assim, podemos concluir que os planos π₁ e π₂ são paralelos.

Passo 4

Agora, vamos calcular a distância entre os dois planos paralelos. A fórmula para a distância entre dois planos paralelos e é: Primeiro, precisamos trazer o plano π₁ para a forma padrão. Sabemos que π₁ tem a vetor normal e passa pelo ponto . A equação do plano π₁ na forma será: Substituindo o ponto : Já para o plano π₂, temos , que podemos reescrever como: Então, . Agora, calculamos a distância:

Resposta

Os planos π₁ e π₂ são paralelos, e a distância entre eles é .

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