Em cada um dos itens abaixo, mostre que os planos e são paralelos e calcule distância entre eles.
(ii) .
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois planos:
- **Plano π₁** definido pelas equações paramétricas:
- **Plano π₂** definido pela equação:
Queremos mostrar que esses dois planos são paralelos e calcular a distância entre eles. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre vetores normais e distâncias entre planos paralelos.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a **vetor normal** de cada plano. A vetor normal de um plano é um vetor perpendicular ao plano.
- Para o **plano π₂**, que está na forma padrão , a vetor normal é simplesmente . No nosso caso:
- Para o **plano π₁**, como está dado de forma paramétrica, precisamos encontrar duas **vetores diretores** e então calcular o produto vetorial para obter a vetor normal.
A partir das equações paramétricas de π₁:
Podemos reescrever como:
Então, os vetores diretores são e .
Agora, calculamos o produto vetorial para encontrar a vetor normal de π₁:
Passo 3
Agora que temos as vetores normais dos dois planos:
Observamos que é um múltiplo de (-1 vez). Isso significa que as duas vetores normais são paralelos.
Quando os vetores normais de dois planos são paralelos, os próprios planos são também **paralelos**. Assim, podemos concluir que os planos π₁ e π₂ são paralelos.
Passo 4
Agora, vamos calcular a distância entre os dois planos paralelos. A fórmula para a distância entre dois planos paralelos e é:
Primeiro, precisamos trazer o plano π₁ para a forma padrão. Sabemos que π₁ tem a vetor normal e passa pelo ponto .
A equação do plano π₁ na forma será:
Substituindo o ponto :
Já para o plano π₂, temos , que podemos reescrever como:
Então, .
Agora, calculamos a distância:
Resposta
Os planos π₁ e π₂ são paralelos, e a distância entre eles é .