Determine quais dos seguintes são subespaços de R^3 :
  1. Todos os vetores da forma (a, 0,0).
  2. Todos os vetores da forma (a, 1,1).
  3. Todos os vetores da forma (a, b, c), com b=a+c+1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar quais dos conjuntos apresentados são subespaços de R^3. Para isso, vamos precisar lembrar que um subespaço deve satisfazer três condições principais:
  1. Contém o vetor zero: O vetor (0, 0, 0) precisa estar dentro do conjunto.
  2. Fechamento pela adição: Se você pegar dois vetores do conjunto e somar, o resultado também precisa estar no conjunto.
  3. Fechamento pela multiplicação escalar: Se você multiplicar um vetor do conjunto por qualquer número real, o resultado também deve estar no conjunto.
Vamos analisar cada um dos conjuntos com base nessas condições.

Passo 2

Conjunto 1: Todos os vetores da forma (a, 0, 0)
  1. Vetor zero: Quando a = 0, o vetor é (0, 0, 0), que está no conjunto.
  2. Adição: Se pegarmos dois vetores, por exemplo, (a, 0, 0) e (b, 0, 0), a soma é (a+b, 0, 0), que também está no conjunto.
  3. Multiplicação escalar: Multiplicando (a, 0, 0) por um escalar k, temos (ka, 0, 0), que também pertence ao conjunto.
Como todas as condições são satisfeitas, o conjunto 1 é um subespaço de R^3.

Passo 3

Conjunto 2: Todos os vetores da forma (a, 1, 1)
  1. Vetor zero: Se a = 0, o vetor seria (0, 1, 1), que não é o vetor zero (0, 0, 0). Já falhamos na primeira condição.
Como já não contém o vetor zero, o conjunto 2 não é um subespaço de R^3.

Passo 4

Conjunto 3: Todos os vetores da forma (a, b, c), com b = a + c + 1
  1. Vetor zero: Para ter o vetor zero, precisaríamos que a = 0, b = 0 e c = 0. Mas se substituirmos na equação b = a + c + 1, temos 0 = 0 + 0 + 1, o que é falso. Logo, o vetor zero não está no conjunto.
Como não contém o vetor zero, o conjunto 3 não é um subespaço de R^3.

Resposta

Apenas o conjunto 1 é um subespaço de R^3.

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