Determine quais dos seguintes são subespaços de
:
- Todos os vetores da forma
.
- Todos os vetores da forma
.
- Todos os vetores da forma
, com
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar quais dos conjuntos apresentados são subespaços de
. Para isso, vamos precisar lembrar que um subespaço deve satisfazer três condições principais:
- Contém o vetor zero: O vetor
precisa estar dentro do conjunto. - Fechamento pela adição: Se você pegar dois vetores do conjunto e somar, o resultado também precisa estar no conjunto.
- Fechamento pela multiplicação escalar: Se você multiplicar um vetor do conjunto por qualquer número real, o resultado também deve estar no conjunto.
Vamos analisar cada um dos conjuntos com base nessas condições.
Passo 2
Conjunto 1: Todos os vetores da forma
- Vetor zero: Quando
, o vetor é , que está no conjunto. - Adição: Se pegarmos dois vetores, por exemplo,
e , a soma é , que também está no conjunto. - Multiplicação escalar: Multiplicando
por um escalar , temos , que também pertence ao conjunto.
Como todas as condições são satisfeitas, o conjunto 1 é um subespaço de
.
Passo 3
Conjunto 2: Todos os vetores da forma
- Vetor zero: Se
, o vetor seria , que não é o vetor zero . Já falhamos na primeira condição.
Como já não contém o vetor zero, o conjunto 2 não é um subespaço de
.
Passo 4
Conjunto 3: Todos os vetores da forma
, com
- Vetor zero: Para ter o vetor zero, precisaríamos que
, e . Mas se substituirmos na equação , temos , o que é falso. Logo, o vetor zero não está no conjunto.
Como não contém o vetor zero, o conjunto 3 não é um subespaço de
.
Resposta
Apenas o conjunto 1 é um subespaço de
.