Mostre que o conjunto
é uma função
, com a operação de adição de elementos definida como:
e a operação de multiplicação por escalar definida como:
é um espaço vetorial real.
Passo 1
Então, a gente tem que mostrar que o conjunto
, que é o conjunto de todas as funções de
para
, forma um espaço vetorial real. Pra isso, vamos precisar lembrar das definições básicas de espaço vetorial e verificar se todas as propriedades necessárias são atendidas usando as operações de adição e multiplicação por escalar dadas.
Passo 2
Primeiro, vamos checar o fechamento sob adição. Isso significa que se você pegar duas funções quaisquer
e
em
, a função
, definida por
, também deve estar em
. Como a soma de duas funções reais para reais é outra função real para real, isso tá garantido.
Passo 3
Agora, vamos ver o fechamento sob multiplicação por escalar. Se pegar uma função
em
e um escalar
, a função
, definida por
, também deve estar em
. Multiplicar uma função real por um número real continua sendo uma função real, então isso também tá ok.
Passo 4
Vamos conferir a existência do elemento neutro da adição, que é a função zero. A função zero, definida por
para todo
, está em
e, para qualquer função
, temos
. Então, a função zero serve como elemento neutro.
Passo 5
Agora, vamos verificar a existência do inverso aditivo. Para qualquer função
em
, existe uma função
definida por
que também está em
, e
, que é a função zero. Assim, cada função tem seu inverso aditivo.
Passo 6
Vamos checar a associatividade da adição. Para quaisquer funções
,
, e
em
, temos:
e
Como são iguais, a adição é associativa.
Passo 7
Vamos verificar a comutatividade da adição. Para quaisquer funções
e
em
, temos:
Então, a adição é comutativa.
Passo 8
Agora, vamos ver a distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de vetores. Para qualquer escalar
e funções
,
em
:
Então, a propriedade é satisfeita.
Passo 9
Vamos verificar a distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de escalares. Para quaisquer escalares
e uma função
:
Portanto, essa propriedade também é válida.
Passo 10
Finalmente, vamos checar a compatibilidade da multiplicação por escalares. Para quaisquer escalares
e uma função
:
Então, a compatibilidade é atendida.
Passo 11
Por último, precisamos verificar a existência do escalar unitário. O escalar 1 deve satisfazer
para qualquer função
. De fato:
Assim, o escalar unitário funciona como esperado.
Resposta
Portanto, o conjunto
com as operações de adição e multiplicação por escalar definidas é um espaço vetorial real.