Mostre que o conjunto F(R)=f: R R mid f é uma função , com a operação de adição de elementos definida como:
(f+g)(x)=f(x)+g(x) ; forall f, g in F(R)
e a operação de multiplicação por escalar definida como:
(lambda f)(x)=lambda f(x) ; forall f in F(R) e lambda in R
é um espaço vetorial real.

Passo 1

Então, a gente tem que mostrar que o conjunto F(R), que é o conjunto de todas as funções de R para R, forma um espaço vetorial real. Pra isso, vamos precisar lembrar das definições básicas de espaço vetorial e verificar se todas as propriedades necessárias são atendidas usando as operações de adição e multiplicação por escalar dadas.

Passo 2

Primeiro, vamos checar o fechamento sob adição. Isso significa que se você pegar duas funções quaisquer f e g em F(R), a função f + g, definida por (f + g)(x) = f(x) + g(x), também deve estar em F(R). Como a soma de duas funções reais para reais é outra função real para real, isso tá garantido.

Passo 3

Agora, vamos ver o fechamento sob multiplicação por escalar. Se pegar uma função f em F(R) e um escalar lambda in R, a função lambda f, definida por (lambda f)(x) = lambda f(x), também deve estar em F(R). Multiplicar uma função real por um número real continua sendo uma função real, então isso também tá ok.

Passo 4

Vamos conferir a existência do elemento neutro da adição, que é a função zero. A função zero, definida por 0(x) = 0 para todo x in R, está em F(R) e, para qualquer função f, temos (f + 0)(x) = f(x) + 0 = f(x). Então, a função zero serve como elemento neutro.

Passo 5

Agora, vamos verificar a existência do inverso aditivo. Para qualquer função f em F(R), existe uma função -f definida por (-f)(x) = -f(x) que também está em F(R), e (f + (-f))(x) = f(x) - f(x) = 0, que é a função zero. Assim, cada função tem seu inverso aditivo.

Passo 6

Vamos checar a associatividade da adição. Para quaisquer funções f, g, e h em F(R), temos:
(f + g) + h)(x) = (f + g)(x) + h(x) = f(x) + g(x) + h(x)
e
f + (g + h)(x) = f(x) + (g + h)(x) = f(x) + g(x) + h(x)
Como são iguais, a adição é associativa.

Passo 7

Vamos verificar a comutatividade da adição. Para quaisquer funções f e g em F(R), temos:
(f + g)(x) = f(x) + g(x) = g(x) + f(x) = (g + f)(x)
Então, a adição é comutativa.

Passo 8

Agora, vamos ver a distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de vetores. Para qualquer escalar lambda in R e funções f, g em F(R):
lambda (f + g)(x) = lambda (f(x) + g(x)) = lambda f(x) + lambda g(x) = (lambda f + lambda g)(x)
Então, a propriedade é satisfeita.

Passo 9

Vamos verificar a distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de escalares. Para quaisquer escalares lambda, mu in R e uma função f in F(R):
(lambda + mu) f(x) = (lambda + mu) f(x) = lambda f(x) + mu f(x) = (lambda f + mu f)(x)
Portanto, essa propriedade também é válida.

Passo 10

Finalmente, vamos checar a compatibilidade da multiplicação por escalares. Para quaisquer escalares lambda, mu in R e uma função f in F(R):
lambda (mu f)(x) = lambda (mu f(x)) = (lambda mu) f(x) = ((lambda mu) f)(x)
Então, a compatibilidade é atendida.

Passo 11

Por último, precisamos verificar a existência do escalar unitário. O escalar 1 deve satisfazer 1 cdot f = f para qualquer função f in F(R). De fato:
(1 cdot f)(x) = 1 cdot f(x) = f(x)
Assim, o escalar unitário funciona como esperado.

Resposta

Portanto, o conjunto F(R) com as operações de adição e multiplicação por escalar definidas é um espaço vetorial real.

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