Para cada hipérbole dada determine as coordenadas dos vértices e dos focos, escreva as equações de suas assíntotas e esboce-a (juntamente com suas assintotas) no sistema de coordenadas cartesianas.
(a)
©
(b)
(d)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para determinar as coordenadas dos vértices e dos focos, as assíntotas e esboçar a hipérbole no sistema de coordenadas. Vamos trabalhar com a hipérbole (a) . Para isso, precisamos entender a forma padrão da equação da hipérbole e identificar seus parâmetros.

Passo 2

Primeiro, identificamos a forma padrão da hipérbole horizontal que é , onde é o centro da hipérbole, é a distância do centro aos vértices, e está relacionado com a distância até as assíntotas.

Passo 3

Comparando com a equação dada , vemos que , , e . Então, e .

Passo 4

Os vértices da hipérbole são dados por . Substituindo os valores, temos os vértices em e .

Passo 5

Para encontrar os focos, usamos a fórmula . Calculando, , então .

Passo 6

Os focos estão localizados em . Portanto, os focos são e .

Passo 7

As equações das assíntotas para uma hipérbole horizontal são dadas por . Substituindo os valores, temos , ou seja, e .

Passo 8

Vamos agora resolver a hipérbole © . Vamos identificar os elementos da hipérbole como vértices, focos e assíntotas.

Passo 9

A forma padrão da hipérbole horizontal é . Comparando com , temos , , e . Assim, e .

Passo 10

Os vértices são , resultando em e .

Passo 11

Calculamos , então .

Passo 12

Os focos estão em , ou seja, e .

Passo 13

As assíntotas são . Substituindo, obtemos , que são e .

Passo 14

Vamos resolver a hipérbole (b) . Vamos encontrar os vértices, focos e assíntotas dessa hipérbole.

Passo 15

A forma padrão da hipérbole vertical é . Reescrevendo a equação dada: . Então, , , e . Logo, e .

Passo 16

Os vértices para a hipérbole vertical são . Então, e .

Passo 17

Calculamos , então .

Passo 18

Os focos estão em , ou seja, e .

Passo 19

As assíntotas para a hipérbole vertical são . Substituindo os valores, temos , ou seja, e .

Passo 20

Vamos agora resolver a hipérbole (d) . Precisamos encontrar seus vértices, focos e assíntotas.

Passo 21

A forma padrão da hipérbole vertical é . Comparando com , temos , , e . Assim, e .

Passo 22

Os vértices para a hipérbole vertical são , ou seja, e .

Passo 23

Calculamos , então .

Passo 24

Os focos estão em , ou seja, e .

Passo 25

As assíntotas para a hipérbole vertical são . Substituindo os valores, temos , ou seja, e .

Resposta

Para a hipérbole :
  • Vértices: e
  • Focos: e
  • Assíntotas: e

Exercícios relacionados

Escreva a matriz
como um produto de matrizes elementares de linha e determine sua inversa, se possível.
A distância entre o ponto e o plano é igual a
(A)
(B)
©
(D)
(E)
Mostre que o conjunto é uma função , com a operação de adição de elementos definida como:
e a operação de multiplicação por escalar definida como:
é um espaço vetorial real.
Em cada um dos itens abaixo, mostre que os planos e são paralelos e calcule distância entre eles.
(ii) .