Para cada hipérbole dada determine as coordenadas dos vértices e dos focos, escreva as equações de suas assíntotas e esboce-a (juntamente com suas assintotas) no sistema de coordenadas cartesianas.
(a)
©
(b)
(d)
(a)
©
(b)
(d)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para determinar as coordenadas dos vértices e dos focos, as assíntotas e esboçar a hipérbole no sistema de coordenadas. Vamos trabalhar com a hipérbole (a)
. Para isso, precisamos entender a forma padrão da equação da hipérbole e identificar seus parâmetros.
Passo 2
Primeiro, identificamos a forma padrão da hipérbole horizontal que é
, onde
é o centro da hipérbole,
é a distância do centro aos vértices, e
está relacionado com a distância até as assíntotas.
Passo 3
Comparando com a equação dada
, vemos que
,
,
e
. Então,
e
.
Passo 4
Os vértices da hipérbole são dados por
. Substituindo os valores, temos os vértices em
e
.
Passo 5
Para encontrar os focos, usamos a fórmula
. Calculando,
, então
.
Passo 6
Os focos estão localizados em
. Portanto, os focos são
e
.
Passo 7
As equações das assíntotas para uma hipérbole horizontal são dadas por
. Substituindo os valores, temos
, ou seja,
e
.
Passo 8
Vamos agora resolver a hipérbole ©
. Vamos identificar os elementos da hipérbole como vértices, focos e assíntotas.
Passo 9
A forma padrão da hipérbole horizontal é
. Comparando com
, temos
,
,
e
. Assim,
e
.
Passo 10
Os vértices são
, resultando em
e
.
Passo 11
Calculamos
, então
.
Passo 12
Os focos estão em
, ou seja,
e
.
Passo 13
As assíntotas são
. Substituindo, obtemos
, que são
e
.
Passo 14
Vamos resolver a hipérbole (b)
. Vamos encontrar os vértices, focos e assíntotas dessa hipérbole.
Passo 15
A forma padrão da hipérbole vertical é
. Reescrevendo a equação dada:
. Então,
,
,
e
. Logo,
e
.
Passo 16
Os vértices para a hipérbole vertical são
. Então,
e
.
Passo 17
Calculamos
, então
.
Passo 18
Os focos estão em
, ou seja,
e
.
Passo 19
As assíntotas para a hipérbole vertical são
. Substituindo os valores, temos
, ou seja,
e
.
Passo 20
Vamos agora resolver a hipérbole (d)
. Precisamos encontrar seus vértices, focos e assíntotas.
Passo 21
A forma padrão da hipérbole vertical é
. Comparando com
, temos
,
,
e
. Assim,
e
.
Passo 22
Os vértices para a hipérbole vertical são
, ou seja,
e
.
Passo 23
Calculamos
, então
.
Passo 24
Os focos estão em
, ou seja,
e
.
Passo 25
As assíntotas para a hipérbole vertical são
. Substituindo os valores, temos
, ou seja,
e
.
Resposta
Para a hipérbole
:
- Vértices:
e - Focos:
e - Assíntotas:
e