Em cada um dos itens abaixo, reescreva a equação na forma padrão, classifique e faça o gráfico. Observação. Neste exercício, a parte mais demorada e tediosa é reescrever a equação na forma padrão, que exige completamentos de quadrados e outras manipulações algébricas. Se você se sente seguro e confortável com essas manipulações, sinta-se à vontade pare ver a equação na forma padrão no gabarito e usá-la para fazer o restante do exercício.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação quadrática:
. Nosso objetivo é reescrevê-la na forma padrão, identificar de que tipo de cônica ela se trata e desenhar o gráfico. Para isso, vamos precisar completar o quadrado e usar conceitos de geometria analítica.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar os termos com
e
juntos:
Passo 3
Agora, vamos completar o quadrado para os termos de
. Primeiro, fatoramos o coeficiente de
:
Para completar o quadrado dentro dos parênteses, pegamos o coeficiente de
(que é 6), dividimos por 2 e elevamos ao quadrado:
Então, adicionamos e subtraímos 9 dentro dos parênteses:
Simplificando:
Passo 4
Vamos agora completar o quadrado para os termos de
. Primeiro, fatoramos o coeficiente de
:
Completo o quadrado para
. Pegamos o coeficiente de
(que é 2), dividimos por 2 e elevamos ao quadrado:
Então, adicionamos e subtraímos 1 dentro dos parênteses:
Simplificando:
Passo 5
Agora, somamos os termos constantes:
Então:
Adicionando 21 aos dois lados:
Passo 6
Vamos dividir todos os termos por -9 para isolar as expressões quadráticas:
Simplificando:
Multiplicando os dois lados por -1 para deixar em forma padrão positiva:
Passo 7
Observamos que a soma de termos positivos iguala um número negativo, o que não é possível para números reais. Isso significa que a equação não representa nenhuma cônica real no plano.
Resposta
A equação
não representa nenhuma cônica real, pois não existe solução real para ela.
Exercícios relacionados
Dada a equação
onde
e
são constantes e as condições de fronteira
onde
e
são constantes, mostrar, por meio da substituição
que a equação se reduz a
e as condições de fronteira a
Mostrar portanto que quando
,
onde
A derivada da função deslocamento é a função velocidaće. A derivada da função velocidade é a função aceleração. Encontre as funções velocidade e aceleração para
Mostrar que a solução da equação
que satisfaz as condições
e
e
Em cada um dos itens abaixo, reescreva a equação na forma padrão, classifique e faça o gráfico. Observação. Neste exercício, a parte mais demorada e tediosa é reescrever a equação na forma padrão, que exige completamentos de quadrados e outras manipulações algébricas. Se você se sente seguro e confortável com essas manipulações, sinta-se à vontade pare ver a equação na forma padrão no gabarito e usá-la para fazer o restante do exercício.
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(a)