Em cada um dos itens abaixo, reescreva a equação na forma padrão, classifique e faça o gráfico. Observação. Neste exercício, a parte mais demorada e tediosa é reescrever a equação na forma padrão, que exige completamentos de quadrados e outras manipulações algébricas. Se você se sente seguro e confortável com essas manipulações, sinta-se à vontade pare ver a equação na forma padrão no gabarito e usá-la para fazer o restante do exercício.
§ 2x^2 + 3y^2 + 12x + 6y + 30 = 0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação quadrática: . Nosso objetivo é reescrevê-la na forma padrão, identificar de que tipo de cônica ela se trata e desenhar o gráfico. Para isso, vamos precisar completar o quadrado e usar conceitos de geometria analítica.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar os termos com e juntos:

Passo 3

Agora, vamos completar o quadrado para os termos de . Primeiro, fatoramos o coeficiente de :
Para completar o quadrado dentro dos parênteses, pegamos o coeficiente de (que é 6), dividimos por 2 e elevamos ao quadrado:
Então, adicionamos e subtraímos 9 dentro dos parênteses:
Simplificando:

Passo 4

Vamos agora completar o quadrado para os termos de . Primeiro, fatoramos o coeficiente de :
Completo o quadrado para . Pegamos o coeficiente de (que é 2), dividimos por 2 e elevamos ao quadrado:
Então, adicionamos e subtraímos 1 dentro dos parênteses:
Simplificando:

Passo 5

Agora, somamos os termos constantes:
Então:
Adicionando 21 aos dois lados:

Passo 6

Vamos dividir todos os termos por -9 para isolar as expressões quadráticas:
Simplificando:
Multiplicando os dois lados por -1 para deixar em forma padrão positiva:

Passo 7

Observamos que a soma de termos positivos iguala um número negativo, o que não é possível para números reais. Isso significa que a equação não representa nenhuma cônica real no plano.

Resposta

A equação não representa nenhuma cônica real, pois não existe solução real para ela.

Exercícios relacionados

Dada a equação
partial^2 upartial x^2=1k partial upartial t+betak(u-u0)
onde k, beta e u0 são constantes e as condições de fronteira
u(x, 0)=f(x), u(0, t)=u1, u(l, t)=u2
onde u1 e u2 são constantes, mostrar, por meio da substituição
u(x, t)=u0+v(x, t) e^-beta t
que a equação se reduz a
partial^2 vpartial x^2=1k partial vpartial t
e as condições de fronteira a
v(x, 0)=f(x)-u0, v(0, t)=(u1-u0) e^beta t, v(l, t)=(u2-u0)^beta t
Mostrar portanto que quando u1=u2=u0,
u(x, t)=u0+sumn=1^infty bn sen n pi xl e^-((beta l^2+n^2 pi^2 k) t) / l^2
onde
bn=2l integral0^l f(x) sen n pi xl d x-2 u0n pi(1-cos n pi)
A derivada da função deslocamento é a função velocidaće. A derivada da função velocidade é a função aceleração. Encontre as funções velocidade e aceleração para f(x) = sen(N x) * e^(k x)
Mostrar que a solução da equação
partial^2 upartial x^2=1k partial upartial t
que satisfaz as condições
e
u=0 em x=0, para t>0 ; u=1 em x=1 , para t>0 u=0 em t=0, para 0 <= x <= 1 , é u(x, t)=x+2pi sumn=1^infty (-1)^nn e^-n^2 pi^2 k t sen n pi x é
Em cada um dos itens abaixo, reescreva a equação na forma padrão, classifique e faça o gráfico. Observação. Neste exercício, a parte mais demorada e tediosa é reescrever a equação na forma padrão, que exige completamentos de quadrados e outras manipulações algébricas. Se você se sente seguro e confortável com essas manipulações, sinta-se à vontade pare ver a equação na forma padrão no gabarito e usá-la para fazer o restante do exercício.
(a) x + 2y - 1 = 0.