Dada a equação
onde
e
são constantes e as condições de fronteira
onde
e
são constantes, mostrar, por meio da substituição
que a equação se reduz a
e as condições de fronteira a
Mostrar portanto que quando
,
onde
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma equação diferencial parcial que envolve derivadas em relação a
e
. O enunciado nos pede para fazer uma substituição específica e simplificar a equação, além de ajustar as condições de fronteira. Para isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre equações diferenciais parciais e técnicas de substituição. Vamos passo a passo entender e resolver esse problema!
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação original que temos:
Aqui,
,
e
são constantes. Também temos as condições de fronteira:
Passo 3
A substituição que vamos fazer é:
Isso significa que estamos escrevendo
como uma parte constante
mais uma função
que varia com
e
, multiplicada por
. Essa técnica ajuda a simplificar a equação original.
Passo 4
Vamos calcular as derivadas necessárias para substituir na equação original. Primeiro, a segunda derivada de
em relação a
:
Agora, a derivada de
em relação a
:
Passo 5
Substituindo essas derivadas na equação original:
Simplificando os termos:
Perceba que os últimos dois termos se cancelam:
Passo 6
Podemos dividir ambos os lados da equação por
(que nunca é zero):
Pronto! Vamos mostrar que a equação se reduz a essa forma mais simples para
.
Passo 7
Agora, vamos ajustar também as condições de fronteira com a substituição
:
- Condição inicial:
- Condições de fronteira:
Passo 8
Agora, concluímos que a equação simplificada para
é:
E as condições de fronteira ajustadas são:
Resposta
Assim, ao fazer a substituição
, a equação dada se reduz a
com as condições de fronteira:
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.
Em cada um dos itens abaixo, reescreva a equação na forma padrão, classifique e faça o gráfico. Observação. Neste exercício, a parte mais demorada e tediosa é reescrever a equação na forma padrão, que exige completamentos de quadrados e outras manipulações algébricas. Se você se sente seguro e confortável com essas manipulações, sinta-se à vontade pare ver a equação na forma padrão no gabarito e usá-la para fazer o restante do exercício.
§ .
§
Mostrar que a solução da equação
que satisfaz as condições
e
e