Em cada um dos itens abaixo, reescreva a equação na forma padrão, classifique e faça o gráfico. Observação. Neste exercício, a parte mais demorada e tediosa é reescrever a equação na forma padrão, que exige completamentos de quadrados e outras manipulações algébricas. Se você se sente seguro e confortável com essas manipulações, sinta-se à vontade pare ver a equação na forma padrão no gabarito e usá-la para fazer o restante do exercício.
(j) x^2 + y^2 - 4x + 6y - 3 = 0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem a equação e precisa colocá-la na forma padrão. Isso envolve completar o quadrado para os termos de e . A gente vai usar um pouco de álgebra para deixar a equação mais fácil de interpretar, identificar que tipo de figura ela representa e depois desenhar o gráfico. Vamos precisar lembrar como completar o quadrado e conhecer a forma padrão das equações de círculos.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar a equação agrupando os termos de e os termos de juntos:

Passo 3

Agora, vamos completar o quadrado para os termos de . Olha só:
Para , a gente pega o coeficiente de , que é -4, divide por 2 e eleva ao quadrado:
Então, adicionamos e subtraímos 4:
Isso se torna:

Passo 4

Fazendo o mesmo para os termos de :
Para , pegamos o coeficiente de , que é 6, dividimos por 2 e elevamos ao quadrado:
Então, adicionamos e subtraímos 9:
Isso se torna:

Passo 5

Agora, substituímos de volta na equação original com as partes que completamos:
Simplificando os números:

Passo 6

Vamos isolar os termos quadrados:

Passo 7

Pronto! Agora a equação está na forma padrão de um círculo, que é , onde é o centro e é o raio.

Passo 8

Comparando com a nossa equação:
Vemos que:
  • Centro
  • Raio

Passo 9

Então, a equação representa um círculo com centro em e raio 4.

Passo 10

Para fazer o gráfico:
  1. Marque o ponto no plano.
  2. A partir desse ponto, desenhe um círculo com raio 4 unidades.
  3. Você pode marcar outros pontos que estão a 4 unidades de distância do centro para ajudar no desenho, como , , e .

Resposta

A equação na forma padrão é . Ela representa um círculo com centro em e raio 4. O gráfico é um círculo centrado nesse ponto com o raio indicado.

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Em cada um dos itens abaixo, reescreva a equação na forma padrão, classifique e faça o gráfico. Observação. Neste exercício, a parte mais demorada e tediosa é reescrever a equação na forma padrão, que exige completamentos de quadrados e outras manipulações algébricas. Se você se sente seguro e confortável com essas manipulações, sinta-se à vontade pare ver a equação na forma padrão no gabarito e usá-la para fazer o restante do exercício.
(a) x + 2y - 1 = 0.
Mostrar que a solução da equação
partial^2 upartial x^2=1k partial upartial t
que satisfaz as condições
e
u=0 em x=0, para t>0 ; u=1 em x=1 , para t>0 u=0 em t=0, para 0 <= x <= 1 , é u(x, t)=x+2pi sumn=1^infty (-1)^nn e^-n^2 pi^2 k t sen n pi x é
Em cada um dos itens abaixo, reescreva a equação na forma padrão, classifique e faça o gráfico. Observação. Neste exercício, a parte mais demorada e tediosa é reescrever a equação na forma padrão, que exige completamentos de quadrados e outras manipulações algébricas. Se você se sente seguro e confortável com essas manipulações, sinta-se à vontade pare ver a equação na forma padrão no gabarito e usá-la para fazer o restante do exercício.
(a) x^2 + y^2 + 2x - 4y - 2 = 0.
Mostrar que a solução da equação
partial^2 upartial x^2=1k partial upartial t
que satisfaz as condições
(i) partial upartial x=0, onde x=0 e x=a, para todo t,
(ii) u é limitada para -a <= x <= a, quando t infty,
(iii) u=|x|, para -a <= x <= a quando t=0,
é
y=12 a-4 api^2 sumn=0^infty 1(2 n+1)^2 cos (2 n+1) pi xa e^-[(2 n+1)^2 k pi^2 t] / a^2