Em cada um dos itens abaixo, reescreva a equação na forma padrão, classifique e faça o gráfico. Observação. Neste exercício, a parte mais demorada e tediosa é reescrever a equação na forma padrão, que exige completamentos de quadrados e outras manipulações algébricas. Se você se sente seguro e confortável com essas manipulações, sinta-se à vontade pare ver a equação na forma padrão no gabarito e usá-la para fazer o restante do exercício.
(j)
.
(j)
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem a equação
e precisa colocá-la na forma padrão. Isso envolve completar o quadrado para os termos de
e
. A gente vai usar um pouco de álgebra para deixar a equação mais fácil de interpretar, identificar que tipo de figura ela representa e depois desenhar o gráfico. Vamos precisar lembrar como completar o quadrado e conhecer a forma padrão das equações de círculos.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar a equação agrupando os termos de
e os termos de
juntos:
Passo 3
Agora, vamos completar o quadrado para os termos de
. Olha só:
Para
, a gente pega o coeficiente de
, que é -4, divide por 2 e eleva ao quadrado:
Então, adicionamos e subtraímos 4:
Isso se torna:
Passo 4
Fazendo o mesmo para os termos de
:
Para
, pegamos o coeficiente de
, que é 6, dividimos por 2 e elevamos ao quadrado:
Então, adicionamos e subtraímos 9:
Isso se torna:
Passo 5
Agora, substituímos de volta na equação original com as partes que completamos:
Simplificando os números:
Passo 6
Vamos isolar os termos quadrados:
Passo 7
Pronto! Agora a equação está na forma padrão de um círculo, que é
, onde
é o centro e
é o raio.
Passo 8
Comparando com a nossa equação:
Vemos que:
- Centro
- Raio
Passo 9
Então, a equação representa um círculo com centro em
e raio 4.
Passo 10
Para fazer o gráfico:
- Marque o ponto
no plano. - A partir desse ponto, desenhe um círculo com raio 4 unidades.
- Você pode marcar outros pontos que estão a 4 unidades de distância do centro para ajudar no desenho, como
, , e .
Resposta
A equação na forma padrão é
. Ela representa um círculo com centro em
e raio 4. O gráfico é um círculo centrado nesse ponto com o raio indicado.
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Em cada um dos itens abaixo, reescreva a equação na forma padrão, classifique e faça o gráfico. Observação. Neste exercício, a parte mais demorada e tediosa é reescrever a equação na forma padrão, que exige completamentos de quadrados e outras manipulações algébricas. Se você se sente seguro e confortável com essas manipulações, sinta-se à vontade pare ver a equação na forma padrão no gabarito e usá-la para fazer o restante do exercício.
(a) .
(a)
Mostrar que a solução da equação
que satisfaz as condições
e
e
Em cada um dos itens abaixo, reescreva a equação na forma padrão, classifique e faça o gráfico. Observação. Neste exercício, a parte mais demorada e tediosa é reescrever a equação na forma padrão, que exige completamentos de quadrados e outras manipulações algébricas. Se você se sente seguro e confortável com essas manipulações, sinta-se à vontade pare ver a equação na forma padrão no gabarito e usá-la para fazer o restante do exercício.
(a) .
(a)
Mostrar que a solução da equação
que satisfaz as condições
(i) , onde
e
, para todo
,
(ii) é limitada para
, quando
,
(iii) , para
quando
,
é
(i)
(ii)
(iii)
é