Em cada um dos itens abaixo, reescreva a equação na forma padrão, classifique e faça o gráfico. Observação. Neste exercício, a parte mais demorada e tediosa é reescrever a equação na forma padrão, que exige completamentos de quadrados e outras manipulações algébricas. Se você se sente seguro e confortável com essas manipulações, sinta-se à vontade pare ver a equação na forma padrão no gabarito e usá-la para fazer o restante do exercício.
(a)
.
(a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente recebeu uma equação de segundo grau com
e
. O que a gente precisa fazer é reescrever essa equação na forma padrão, identificar que tipo de figura geométrica ela representa e desenhar o gráfico dessa figura. Para isso, vamos usar o método de completar o quadrado, que ajuda a transformar a equação na forma que a gente entende melhor.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar os termos com
e
separadamente. A equação dada é:
Vamos agrupar os termos de
e de
:
Passo 3
Agora, vamos completar o quadrado para os termos de
. O objetivo é transformar
em
.
Para isso, pegamos o coeficiente de
, que é 2, dividimos por 2 e elevamos ao quadrado:
Então, adicionamos e subtraímos 1 dentro dos parênteses:
Isso simplifica para:
Passo 4
Agora, fazemos o mesmo para os termos de
. Vamos completar o quadrado para
:
Pegamos o coeficiente de
, que é -4, dividimos por 2 e elevamos ao quadrado:
Então, adicionamos e subtraímos 4:
Isso fica:
Passo 5
Agora, vamos simplificar a equação juntando os termos constantes:
Adicionando 5 em ambos os lados:
Essa é a forma padrão da equação de um círculo, que é:
Onde
é o centro e
é o raio.
Passo 6
Comparando com a forma padrão, identificamos:
- Centro
- Raio
Passo 7
Então, a equação está na forma padrão de um círculo com centro em
e raio
.
Passo 8
Agora, vamos esboçar o gráfico. Pelo que a gente viu:
- O centro está no ponto
no plano cartesiano. - O raio é
, então o círculo se estende cerca de 2.65 unidades em todas as direções a partir do centro.
Resposta
A equação na forma padrão é
. É um círculo com centro em
e raio
. O gráfico é um círculo centrado em
com raio aproximadamente 2.65 unidades.
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Em cada um dos itens abaixo, reescreva a equação na forma padrão, classifique e faça o gráfico. Observação. Neste exercício, a parte mais demorada e tediosa é reescrever a equação na forma padrão, que exige completamentos de quadrados e outras manipulações algébricas. Se você se sente seguro e confortável com essas manipulações, sinta-se à vontade pare ver a equação na forma padrão no gabarito e usá-la para fazer o restante do exercício.
(j) .
(j)
Em cada um dos itens abaixo, reescreva a equação na forma padrão, classifique e faça o gráfico. Observação. Neste exercício, a parte mais demorada e tediosa é reescrever a equação na forma padrão, que exige completamentos de quadrados e outras manipulações algébricas. Se você se sente seguro e confortável com essas manipulações, sinta-se à vontade pare ver a equação na forma padrão no gabarito e usá-la para fazer o restante do exercício.
(a) .
(a)
Mostrar que a solução da equação
que satisfaz as condições
(i) , onde
e
, para todo
,
(ii) é limitada para
, quando
,
(iii) , para
quando
,
é
(i)
(ii)
(iii)
é
Em cada um dos itens abaixo, reescreva a equação na forma padrão, classifique e faça o gráfico. Observação. Neste exercício, a parte mais demorada e tediosa é reescrever a equação na forma padrão, que exige completamentos de quadrados e outras manipulações algébricas. Se você se sente seguro e confortável com essas manipulações, sinta-se à vontade pare ver a equação na forma padrão no gabarito e usá-la para fazer o restante do exercício.
(o) .
(o)