Em cada um dos itens abaixo, reescreva a equação na forma padrão, classifique e faça o gráfico. Observação. Neste exercício, a parte mais demorada e tediosa é reescrever a equação na forma padrão, que exige completamentos de quadrados e outras manipulações algébricas. Se você se sente seguro e confortável com essas manipulações, sinta-se à vontade pare ver a equação na forma padrão no gabarito e usá-la para fazer o restante do exercício.
(a) x^2 + y^2 + 2x - 4y - 2 = 0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente recebeu uma equação de segundo grau com e . O que a gente precisa fazer é reescrever essa equação na forma padrão, identificar que tipo de figura geométrica ela representa e desenhar o gráfico dessa figura. Para isso, vamos usar o método de completar o quadrado, que ajuda a transformar a equação na forma que a gente entende melhor.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar os termos com e separadamente. A equação dada é:
Vamos agrupar os termos de e de :

Passo 3

Agora, vamos completar o quadrado para os termos de . O objetivo é transformar em .
Para isso, pegamos o coeficiente de , que é 2, dividimos por 2 e elevamos ao quadrado:
Então, adicionamos e subtraímos 1 dentro dos parênteses:
Isso simplifica para:

Passo 4

Agora, fazemos o mesmo para os termos de . Vamos completar o quadrado para :
Pegamos o coeficiente de , que é -4, dividimos por 2 e elevamos ao quadrado:
Então, adicionamos e subtraímos 4:
Isso fica:

Passo 5

Agora, vamos simplificar a equação juntando os termos constantes:
Adicionando 5 em ambos os lados:
Essa é a forma padrão da equação de um círculo, que é:
Onde é o centro e é o raio.

Passo 6

Comparando com a forma padrão, identificamos:
  • Centro
  • Raio

Passo 7

Então, a equação está na forma padrão de um círculo com centro em e raio .

Passo 8

Agora, vamos esboçar o gráfico. Pelo que a gente viu:
  • O centro está no ponto no plano cartesiano.
  • O raio é , então o círculo se estende cerca de 2.65 unidades em todas as direções a partir do centro.

Resposta

A equação na forma padrão é . É um círculo com centro em e raio . O gráfico é um círculo centrado em com raio aproximadamente 2.65 unidades.

Exercícios relacionados

Em cada um dos itens abaixo, reescreva a equação na forma padrão, classifique e faça o gráfico. Observação. Neste exercício, a parte mais demorada e tediosa é reescrever a equação na forma padrão, que exige completamentos de quadrados e outras manipulações algébricas. Se você se sente seguro e confortável com essas manipulações, sinta-se à vontade pare ver a equação na forma padrão no gabarito e usá-la para fazer o restante do exercício.
(j) x^2 + y^2 - 4x + 6y - 3 = 0.
Em cada um dos itens abaixo, reescreva a equação na forma padrão, classifique e faça o gráfico. Observação. Neste exercício, a parte mais demorada e tediosa é reescrever a equação na forma padrão, que exige completamentos de quadrados e outras manipulações algébricas. Se você se sente seguro e confortável com essas manipulações, sinta-se à vontade pare ver a equação na forma padrão no gabarito e usá-la para fazer o restante do exercício.
(a) x + 2y - 1 = 0.
Mostrar que a solução da equação
partial^2 upartial x^2=1k partial upartial t
que satisfaz as condições
(i) partial upartial x=0, onde x=0 e x=a, para todo t,
(ii) u é limitada para -a <= x <= a, quando t infty,
(iii) u=|x|, para -a <= x <= a quando t=0,
é
y=12 a-4 api^2 sumn=0^infty 1(2 n+1)^2 cos (2 n+1) pi xa e^-[(2 n+1)^2 k pi^2 t] / a^2
Em cada um dos itens abaixo, reescreva a equação na forma padrão, classifique e faça o gráfico. Observação. Neste exercício, a parte mais demorada e tediosa é reescrever a equação na forma padrão, que exige completamentos de quadrados e outras manipulações algébricas. Se você se sente seguro e confortável com essas manipulações, sinta-se à vontade pare ver a equação na forma padrão no gabarito e usá-la para fazer o restante do exercício.
(o) x^2 = 12(y - 6).