Mostrar que a solução da equação
partial^2 upartial x^2=1k partial upartial t
que satisfaz as condições
(i) partial upartial x=0, onde x=0 e x=a, para todo t,
(ii) u é limitada para -a <= x <= a, quando t infty,
(iii) u=|x|, para -a <= x <= a quando t=0,
é
y=12 a-4 api^2 sumn=0^infty 1(2 n+1)^2 cos (2 n+1) pi xa e^-[(2 n+1)^2 k pi^2 t] / a^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma equação diferencial parcial que descreve como uma certa função partial^2 upartial x^2 = 1k partial upartial t se comporta ao longo do tempo e do espaço. A equação é:
Estamos trabalhando com condições específicas nas bordas e , além de condições iniciais e de limite quando vai para o infinito. Para resolver isso, vamos usar técnicas de separação de variáveis e séries de Fourier. Vamos precisar entender um pouco sobre equações diferenciais parciais, condições de contorno e como expandir funções em séries trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos assumir que a solução pode ser escrita como o produto de uma função que depende só de u(x, t) = X(x) T(t) e outra que depende só de X''(x) T(t) = 1k X(x) T'(t) . Ou seja, vamos supor que:
Isso é a famosa “separação de variáveis”. Substituindo isso na equação original, a gente tem:
Onde é a segunda derivada de em relação a , e é a primeira derivada de em relação a .

Passo 3

Agora, a gente divide os dois lados por X''(x)X(x) = 1k T'(t)T(t) :
X''(x) + lambda X(x) = 0
Como o lado esquerdo depende só de T'(t) + lambda k T(t) = 0 e o lado direito só de , ambas elas têm que ser iguais a uma constante. Vamos chamar essa constante de . Então, temos duas equações:
  1. Para :
  1. Para :

Passo 4

Vamos resolver a equação para X''(x) + lambda X(x) = 0 primeiro:
Xn(x) = An cos((2n+1)pi xa)
Essa é uma equação diferencial de segunda ordem com soluções trigonométricas quando . Então, as soluções gerais são:
Aqui, é um número inteiro que começa em 0, e os garantem que cumprimos as condições de contorno de derivada zero nas bordas e .

Passo 5

Agora, vamos resolver a equação para T'(t) + lambda k T(t) = 0 :
Tn(t) = Bn e^-lambda k t
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem cuja solução é:
Tn(t) = Bn e^-((2n+1)^2 pi^2 k ta^2)
Substituindo com , obtemos:

Passo 6

Agora, juntando un(x, t) = An cos((2n+1)pi xa) e^-((2n+1)^2 pi^2 k ta^2) e u(x, t) = sumn=0^infty An cos((2n+1)pi xa) e^-((2n+1)^2 pi^2 k ta^2) , a solução para cada modo é:
A solução geral será a soma de todos esses modos:

Passo 7

Agora precisamos determinar os coeficientes An = 4api^2 (2n+1)^2 usando a condição inicial . Na prática, isso significa expandir em uma série de cossenos. Para funções pares (como ), a expansão em série de Fourier só tem termos de cosseno.
Assim, os coeficientes são calculados como:

Passo 8

Substituindo u(x, t) = 12a - 4api^2 sumn=0^infty 1(2n+1)^2 cos((2n+1)pi xa) e^-((2n+1)^2 k pi^2 ta^2) na solução geral, a gente chega à solução final:

Resposta

A solução da equação dada, que satisfaz todas as condições especificadas, é:
u(x, t) = 12 a - 4 api^2 sumn=0^infty 1(2 n+1)^2 cos ((2 n+1) pi xa) e^-[(2 n+1)^2 k pi^2 ta^2]

Exercícios relacionados

Em cada um dos itens abaixo, reescreva a equação na forma padrão, classifique e faça o gráfico. Observação. Neste exercício, a parte mais demorada e tediosa é reescrever a equação na forma padrão, que exige completamentos de quadrados e outras manipulações algébricas. Se você se sente seguro e confortável com essas manipulações, sinta-se à vontade pare ver a equação na forma padrão no gabarito e usá-la para fazer o restante do exercício.
(a) x^2 + y^2 + 2x - 4y - 2 = 0.
Em cada um dos itens abaixo, reescreva a equação na forma padrão, classifique e faça o gráfico. Observação. Neste exercício, a parte mais demorada e tediosa é reescrever a equação na forma padrão, que exige completamentos de quadrados e outras manipulações algébricas. Se você se sente seguro e confortável com essas manipulações, sinta-se à vontade pare ver a equação na forma padrão no gabarito e usá-la para fazer o restante do exercício.
(j) x^2 + y^2 - 4x + 6y - 3 = 0.
Em cada um dos itens abaixo, reescreva a equação na forma padrão, classifique e faça o gráfico. Observação. Neste exercício, a parte mais demorada e tediosa é reescrever a equação na forma padrão, que exige completamentos de quadrados e outras manipulações algébricas. Se você se sente seguro e confortável com essas manipulações, sinta-se à vontade pare ver a equação na forma padrão no gabarito e usá-la para fazer o restante do exercício.
(o) x^2 = 12(y - 6).
Em cada um dos itens abaixo, reescreva a equação na forma padrão, classifique e faça o gráfico. Observação. Neste exercício, a parte mais demorada e tediosa é reescrever a equação na forma padrão, que exige completamentos de quadrados e outras manipulações algébricas. Se você se sente seguro e confortável com essas manipulações, sinta-se à vontade pare ver a equação na forma padrão no gabarito e usá-la para fazer o restante do exercício.
(u) -4 x^2 + y^2 + 32 x - 4 y - 24 = 0.