Mostrar que a solução da equação
que satisfaz as condições
(i)
, onde
e
, para todo
,
(ii)
é limitada para
, quando
,
(iii)
, para
quando
,
é
(i)
(ii)
(iii)
é
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma equação diferencial parcial que descreve como uma certa função
se comporta ao longo do tempo e do espaço. A equação é:
Estamos trabalhando com condições específicas nas bordas
e
, além de condições iniciais e de limite quando
vai para o infinito. Para resolver isso, vamos usar técnicas de separação de variáveis e séries de Fourier. Vamos precisar entender um pouco sobre equações diferenciais parciais, condições de contorno e como expandir funções em séries trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos assumir que a solução pode ser escrita como o produto de uma função que depende só de
e outra que depende só de
. Ou seja, vamos supor que:
Isso é a famosa “separação de variáveis”. Substituindo isso na equação original, a gente tem:
Onde
é a segunda derivada de
em relação a
, e
é a primeira derivada de
em relação a
.
Passo 3
Agora, a gente divide os dois lados por
:
Como o lado esquerdo depende só de
e o lado direito só de
, ambas elas têm que ser iguais a uma constante. Vamos chamar essa constante de
. Então, temos duas equações:
- Para
:
- Para
:
Passo 4
Vamos resolver a equação para
primeiro:
Essa é uma equação diferencial de segunda ordem com soluções trigonométricas quando
. Então, as soluções gerais são:
Aqui,
é um número inteiro que começa em 0, e os
garantem que cumprimos as condições de contorno de derivada zero nas bordas
e
.
Passo 5
Agora, vamos resolver a equação para
:
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem cuja solução é:
Substituindo
com
, obtemos:
Passo 6
Agora, juntando
e
, a solução para cada modo
é:
A solução geral será a soma de todos esses modos:
Passo 7
Agora precisamos determinar os coeficientes
usando a condição inicial
. Na prática, isso significa expandir
em uma série de cossenos. Para funções pares (como
), a expansão em série de Fourier só tem termos de cosseno.
Assim, os coeficientes
são calculados como:
Passo 8
Substituindo
na solução geral, a gente chega à solução final:
Resposta
A solução da equação dada, que satisfaz todas as condições especificadas, é:
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Em cada um dos itens abaixo, reescreva a equação na forma padrão, classifique e faça o gráfico. Observação. Neste exercício, a parte mais demorada e tediosa é reescrever a equação na forma padrão, que exige completamentos de quadrados e outras manipulações algébricas. Se você se sente seguro e confortável com essas manipulações, sinta-se à vontade pare ver a equação na forma padrão no gabarito e usá-la para fazer o restante do exercício.
(a) .
(a)
Em cada um dos itens abaixo, reescreva a equação na forma padrão, classifique e faça o gráfico. Observação. Neste exercício, a parte mais demorada e tediosa é reescrever a equação na forma padrão, que exige completamentos de quadrados e outras manipulações algébricas. Se você se sente seguro e confortável com essas manipulações, sinta-se à vontade pare ver a equação na forma padrão no gabarito e usá-la para fazer o restante do exercício.
(j) .
(j)
Em cada um dos itens abaixo, reescreva a equação na forma padrão, classifique e faça o gráfico. Observação. Neste exercício, a parte mais demorada e tediosa é reescrever a equação na forma padrão, que exige completamentos de quadrados e outras manipulações algébricas. Se você se sente seguro e confortável com essas manipulações, sinta-se à vontade pare ver a equação na forma padrão no gabarito e usá-la para fazer o restante do exercício.
(o) .
(o)
Em cada um dos itens abaixo, reescreva a equação na forma padrão, classifique e faça o gráfico. Observação. Neste exercício, a parte mais demorada e tediosa é reescrever a equação na forma padrão, que exige completamentos de quadrados e outras manipulações algébricas. Se você se sente seguro e confortável com essas manipulações, sinta-se à vontade pare ver a equação na forma padrão no gabarito e usá-la para fazer o restante do exercício.
(u) .
(u)