Em cada um dos itens abaixo, verifique se
é contínua no ponto
.
d)
.
d)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente verificar se a função
é contínua no ponto
. Estamos lidando com o tópico de continuidade de funções de duas variáveis. Para resolver isso, vamos precisar calcular o limite da função quando
se aproxima de
e ver se esse limite é igual ao valor da função em
, que é 0.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Em duas variáveis,
é contínua em
se o limite de
quando
tende a
existir e for igual a
. Então, precisamos calcular:
E verificar se esse limite é igual a 0.
Passo 3
Vamos calcular esse limite ao longo de diferentes caminhos para ver se o limite é o mesmo em todos eles. Primeiro, vamos tentar o caminho onde
.
Substituindo
:
Quando
, o numerador tende a
e o denominador tende a 0. Dependendo de como nos aproximamos, esse limite pode ir para
ou
, ou não existir.
Passo 4
Agora, vamos tentar outro caminho, por exemplo,
:
Novamente, quando
, o numerador tende a
e o denominador tende a 0, indicando que o limite não existe ou tende a infinito.
Passo 5
Vemos que pelos diferentes caminhos que escolhemos, o limite não é consistente e tende para valores diferentes ou não existe. Isso significa que o limite geral quando
se aproxima de
não existe de forma única.
Resposta
A função
não é contínua no ponto
porque o limite não existe de forma consistente conforme nos aproximamos de diferentes caminhos.