Em cada um dos itens abaixo, verifique se f é contínua no ponto P.
d) f(x)=llx^2+y^2-1x+y ; & se (x, y) neq(0,0) 0 ; & se (x, y)=(0,0) P=(0,0).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente verificar se a função é contínua no ponto . Estamos lidando com o tópico de continuidade de funções de duas variáveis. Para resolver isso, vamos precisar calcular o limite da função quando se aproxima de e ver se esse limite é igual ao valor da função em , que é 0.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Em duas variáveis, lim(x,y) to (0,0) x^2 + y^2 - 1x + y é contínua em se o limite de quando tende a existir e for igual a . Então, precisamos calcular:
E verificar se esse limite é igual a 0.

Passo 3

Vamos calcular esse limite ao longo de diferentes caminhos para ver se o limite é o mesmo em todos eles. Primeiro, vamos tentar o caminho onde limx to 0 x^2 + x^2 - 1x + x = limx to 0 2x^2 - 12x .
Substituindo :
Quando , o numerador tende a e o denominador tende a 0. Dependendo de como nos aproximamos, esse limite pode ir para ou , ou não existir.

Passo 4

Agora, vamos tentar outro caminho, por exemplo, limx to 0 x^2 + 0^2 - 1x + 0 = limx to 0 x^2 - 1x :
Novamente, quando , o numerador tende a e o denominador tende a 0, indicando que o limite não existe ou tende a infinito.

Passo 5

Vemos que pelos diferentes caminhos que escolhemos, o limite não é consistente e tende para valores diferentes ou não existe. Isso significa que o limite geral quando se aproxima de não existe de forma única.

Resposta

A função não é contínua no ponto porque o limite não existe de forma consistente conforme nos aproximamos de diferentes caminhos.

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