Sejam f: A ⊆ R² → R uma função contínua em (a, b) in A e alpha: I subset R -> R^2 uma curva contínua em t0 em I. Assuma que alpha(I) ⊂ A e que alpha(t0) = (a, b), mostre que f circ alpha: I -> R é contínua em t0.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos duas funções:
  1. - que é contínua no ponto pertencente a .
  2. - que é uma curva contínua no ponto pertencente a .
A gente sabe que a imagem da curva está dentro de e que, quando avaliamos em , obtemos o ponto . O objetivo aqui é mostrar que a composição dessas funções, ou seja, , também é contínua em .
Vamos precisar usar conceitos de continuidade de funções e a propriedade da composição de funções contínuas.

Passo 2

Primeiro, vamos recordar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Uma função é contínua em se, para todo , existe um tal que sempre que , então .
No nosso caso, queremos mostrar que é contínua em . Isso significa que precisamos verificar se essa propriedade de continuidade se mantém na composição das funções.

Passo 3

Sabemos que é contínua em . Então, para qualquer , existe um tal que, se , então , onde será escolhido mais adiante.
Como é contínua em , para esse , existe um tal que se , então .

Passo 4

Agora, queremos que . Para garantir isso, escolhemos , onde corresponde ao que encontramos usando a continuidade de .
Assim, se , então , o que implica que .

Passo 5

Portanto, conseguimos mostrar que para qualquer , existe um tal que se , então .
Isso confirma que a composição é contínua em .

Resposta

A composição é contínua em .

Exercícios relacionados