Sejam
uma função contínua em
e
uma curva contínua em
. Assuma que
e que
, mostre que
é contínua em
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos duas funções:
-
- que é contínua no ponto pertencente a . -
- que é uma curva contínua no ponto pertencente a .
A gente sabe que a imagem da curva
está dentro de
e que, quando avaliamos
em
, obtemos o ponto
. O objetivo aqui é mostrar que a composição dessas funções, ou seja,
, também é contínua em
.
Vamos precisar usar conceitos de continuidade de funções e a propriedade da composição de funções contínuas.
Passo 2
Primeiro, vamos recordar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Uma função
é contínua em
se, para todo
, existe um
tal que sempre que
, então
.
No nosso caso, queremos mostrar que
é contínua em
. Isso significa que precisamos verificar se essa propriedade de continuidade se mantém na composição das funções.
Passo 3
Sabemos que
é contínua em
. Então, para qualquer
, existe um
tal que, se
, então
, onde
será escolhido mais adiante.
Como
é contínua em
, para esse
, existe um
tal que se
, então
.
Passo 4
Agora, queremos que
. Para garantir isso, escolhemos
, onde
corresponde ao
que encontramos usando a continuidade de
.
Assim, se
, então
, o que implica que
.
Passo 5
Portanto, conseguimos mostrar que para qualquer
, existe um
tal que se
, então
.
Isso confirma que a composição
é contínua em
.
Resposta
A composição
é contínua em
.