Em cada um dos itens abaixo, verifique que a função dada é uma solução da equação dada e encontre, a partir de , outra solução da mesma equação, de forma que o conjunto seja linearmente independente. Mostre que o conjunto obtido é linearmente independente:
21a) ;
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial ordinária do segundo grau:
E uma solução proposta . Nosso objetivo é:
Confirmar que realmente resolve a equação.
Encontrar outra solução que seja independente de .
Mostrar que o conjunto é linearmente independente.
Para isso, vamos usar conhecimentos de equações diferenciais lineares e teoria de soluções lineares independentes.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se é uma solução da equação.
Para isso, precisamos calcular as derivadas de :
Agora, substituímos , e na equação original:
Como a igualdade se confirma, é realmente uma solução da equação.
Passo 3
Agora, vamos encontrar uma segunda solução . Para equações lineares de segunda ordem com coeficientes variáveis, uma técnica eficaz é a redução de ordem.
Sabemos que:
Onde a equação está na forma padrão:
Primeiro, vamos reorganizar nossa equação original para essa forma. Dividindo toda a equação por :
Assim, temos:
Agora, aplicamos a fórmula da redução de ordem:
Integrando:
Desconsiderando a constante de integração para obter uma solução particular:
Podemos simplificar removendo o fator constante:
Passo 4
Agora, temos as duas soluções:
Para garantir que seja um conjunto de soluções linearmente independentes, calculamos o Wronskiano:
Calculando as derivadas:
Então:
Como o Wronskiano para todo , as soluções são linearmente independentes.
Resposta
As soluções e são soluções da equação diferencial dada e formam um conjunto linearmente independente.