Encontre um termo geral para as sequências abaixo, dados os 5 primeiros termos:
b)
b)
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. A gente tem os 5 primeiros termos da sequência:
. O objetivo é descobrir uma fórmula que nos permita encontrar qualquer termo dessa sequência, sem precisar listar todos os anteriores. Para isso, vamos analisar separadamente os numeradores e os denominadores para identificar os padrões.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para os numeradores: 7, 11, 15, 19, 23. Vemos que cada número aumenta de 4 em 4. Isso significa que a diferença entre um termo e o próximo é constante, ou seja, essa parte da sequência é uma progressão aritmética. A fórmula geral para o n-ésimo termo de uma progressão aritmética é:
Onde:
-
é o n-ésimo termo, -
é o primeiro termo, -
é a razão (a diferença constante).
No nosso caso,
e
, então:
Então, o numerador geral é
.
Passo 3
Agora, vamos analisar os denominadores: 1, 2, 6, 24, 120. Reconhecemos que esses números correspondem aos fatoriais de 1, 2, 3, 4 e 5, respectivamente. O fatorial de um número
, representado por
, é o produto de todos os inteiros positivos até
. Por exemplo:
Portanto, o denominador do n-ésimo termo é
.
Passo 4
Agora que entendemos os padrões do numerador e do denominador, podemos juntar tudo para montar a fórmula geral da sequência. O n-ésimo termo
é a razão entre o numerador e o denominador que encontramos:
Resposta
A expressão geral para a sequência é:
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Calcule as seguintes integrais.
©
©
Em cada um dos itens abaixo, verifique que a função
dada é uma solução da equação dada e encontre, a partir de
, outra solução
da mesma equação, de forma que o conjunto
seja linearmente independente. Mostre que o conjunto obtido é linearmente independente:
21a) ;
21a)
Considere a função
, centrada em
. Determine a série de potências desta função.
Resolva as equações diferenciais ordinárias de segunda ordem abaixo:
b) com condições iniciais
e
b)