Encontre um termo geral para as sequências abaixo, dados os 5 primeiros termos:
b) 7/1, 11/2, 15/6, 19/24, 23/120 ...

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. A gente tem os 5 primeiros termos da sequência: 7/1, 11/2, 15/6, 19/24, 23/120 .... O objetivo é descobrir uma fórmula que nos permita encontrar qualquer termo dessa sequência, sem precisar listar todos os anteriores. Para isso, vamos analisar separadamente os numeradores e os denominadores para identificar os padrões.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para os numeradores: 7, 11, 15, 19, 23. Vemos que cada número aumenta de 4 em 4. Isso significa que a diferença entre um termo e o próximo é constante, ou seja, essa parte da sequência é uma progressão aritmética. A fórmula geral para o n-ésimo termo de uma progressão aritmética é:
Onde:
  • é o n-ésimo termo,
  • é o primeiro termo,
  • d é a razão (a diferença constante).
No nosso caso, e , então:
Então, o numerador geral é .

Passo 3

Agora, vamos analisar os denominadores: 1, 2, 6, 24, 120. Reconhecemos que esses números correspondem aos fatoriais de 1, 2, 3, 4 e 5, respectivamente. O fatorial de um número n, representado por , é o produto de todos os inteiros positivos até n. Por exemplo:
Portanto, o denominador do n-ésimo termo é .

Passo 4

Agora que entendemos os padrões do numerador e do denominador, podemos juntar tudo para montar a fórmula geral da sequência. O n-ésimo termo é a razão entre o numerador e o denominador que encontramos:

Resposta

A expressão geral para a sequência é:

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© integral x+1x^2-4 d x
Em cada um dos itens abaixo, verifique que a função y1 dada é uma solução da equação dada e encontre, a partir de y1, outra solução y2 da mesma equação, de forma que o conjunto {y1(x), y2(x)} seja linearmente independente. Mostre que o conjunto obtido é linearmente independente:
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