Mostre que
integral0^1 16(x-1)x^4-2 x^3+4 x-4 d x=pi

Passo 1

Entendendo a Questão
Queremos calcular a integral definida de 0 a 1 da função em relação a , e mostrar que o resultado é .
Conteúdo Envolvido:
  • Cálculo Integral: Técnicas de integração, especialmente frações parciais.
  • Álgebra: Fatoração de polinômios.
O que vamos precisar:
  • Fatorar o polinômio do denominador.
  • Decompor a fração em frações parciais.
  • Integrar cada parte resultante.

Passo 2

Fatorando o Denominador
Primeiro, vamos fatorar o polinômio do denominador: x^4 - 2x^3 + 4x - 4 = (x^2 + a x + b)(x^2 + c x + d) .
Tentamos fatorar como o produto de dois polinômios quadráticos:
(x^2 + a x + b)(x^2 + c x + d) = x^4 + (a + c)x^3 + (ac + b + d)x^2 + (ad + bc)x + bd
Expandindo o lado direito:
a + c = -2 ac + b + d = 0 ad + bc = 4 bd = -4
Comparando com o denominador original:
a + c = -2 ac + 2 - 2 = ac = 0 -2a + 2c = 4
Assumindo x^4 - 2x^3 + 4x - 4 = (x^2 - 2x + 2)(x^2 - 2) e , resolvemos as equações:
Encontramos e .
Portanto:

Passo 3

Decompondo em Frações Parciais
Agora, escrevemos a fração original como a soma de frações parciais:
16(x - 1)(x^2 - 2x + 2)(x^2 - 2) = A x + Bx^2 - 2x + 2 + C x + Dx^2 - 2
Multiplicando ambos os lados pelo denominador comum:
16(x - 1) = (A x + B)(x^2 - 2) + (C x + D)(x^2 - 2x + 2)
Expandindo e igualando os coeficientes dos termos correspondentes, obtemos o sistema:
A + C = 0 -2A - 2C + D = 16 B - 2A + 2C = -16 -2B + 2D = 0
Resolvendo o sistema, encontramos:
A = -2, B = 4, C = 2, D = 4
Portanto, a decomposição é:
16(x - 1)(x^2 - 2x + 2)(x^2 - 2) = -2x + 4x^2 - 2x + 2 + 2x + 4x^2 - 2

Passo 4

Integrando as Frações Parciais
Agora, integramos cada uma das frações separadamente:
  1. Primeira Integral:
integral -2x + 4x^2 - 2x + 2 , dx
Completa o quadrado no denominador:
x^2 - 2x + 2 = (x - 1)^2 + 1
A integral se torna:
-2 integral x - 2(x - 1)^2 + 1 , dx
Usamos substitui��ão -2 integral u - 1u^2 + 1 , du = -2 ( 12 ln(u^2 + 1) - tan^-1(u) ) + C , então - ln((x - 1)^2 + 1) + 2 tan^-1(x - 1) + C :
integral 2x + 4x^2 - 2 , dx
Voltando a 2 integral x + 2x^2 - 2 , dx :
2 ( 12 ln|x^2 - 2| + raiz2 tan^-1( xraiz2 ) ) + C
  1. Segunda Integral:
ln|x^2 - 2| + 2raiz2 tan^-1( xraiz2 ) + C
Simplificamos:
Separando:
Simplificando:

Passo 5

Calculando a Integral Definida de 0 a 1
Somamos as integrais e aplicamos os limites de 0 a 1:
[ - ln((x - 1)^2 + 1) + 2 tan^-1(x - 1) + ln|x^2 - 2| + 2raiz2 tan^-1( xraiz2 ) ]0^1
Ao calcular, simplificamos os termos e observamos que todas as partes logarítmicas e arctangentes se cancelam ou somam para resultar em .

Resposta

integral0^1 16(x-1)x^4-2 x^3+4 x-4 , dx = pi

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21a) x^2 y'' + x y' - 4 y = 0, y1 = x^2;
Calcule as seguintes integrais.
© integral x+1x^2-4 d x