Calcule.
(f) integral sec ^3(x2) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Aqui estamos trabalhando com integração de funções trigonométricas, especificamente a secante elevada ao cubo. Para resolver isso, vamos precisar usar uma técnica chamada integração por partes e também substituição.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a integral usando uma substituição. Vamos definir integral sec^3(x2) dx = 2 integral sec^3(u) du . Isso significa que ou, rearranjando, .
Substituindo na integral, temos:

Passo 3

Agora, precisamos resolver integral u , dv = uv - integral v , du . Para isso, usamos a técnica de integração por partes, que é baseada na fórmula:
u = sec(u) e dv = sec^2(u) du
Aqui, vamos escolher:
du = sec(u)tan(u) du e v = tan(u)
Então, calculamos e :

Passo 4

Aplicando a fórmula da integração por partes:
integral sec^3(u) du = sec(u)tan(u) - integral tan(u) cdot sec(u)tan(u) du
Simplificando a integral resultante:
integral sec^3(u) du = sec(u)tan(u) - integral sec(u)tan^2(u) du
Sabemos que integral sec^3(u) du = sec(u)tan(u) - integral sec(u)(sec^2(u) - 1) du , então substituímos:
= sec(u)tan(u) - integral sec^3(u) du + integral sec(u) du

Passo 5

Agora, isolamos integral sec^3(u) du + integral sec^3(u) du = sec(u)tan(u) + integral sec(u) du :
2 integral sec^3(u) du = sec(u)tan(u) + ln|sec(u) + tan(u)| + C
integral sec^3(u) du = 12 sec(u)tan(u) + 12 ln|sec(u) + tan(u)| + C
Dividindo ambos os lados por 2:

Passo 6

Lembrando que retornamos à variável 2 integral sec^3(u) du = sec(x2)tan(x2) + ln|sec(x2) + tan(x2)| + C usando , substituímos de volta:

Resposta

A integral sec(x2)tan(x2) + ln|sec(x2) + tan(x2)| + C é igual a:

Exercícios relacionados

Calcule.
(g) integral sen(3 x) cos (8 x) d x
Definimos a composição de duas funções f e g como sendo a função
(f o g)(x) = f(g(x)), para todo x pertencente ao dom(f o g) = {x pertencente ao dom(g): g(x) pertencente ao dom(f)}
Para o cálculo de (f o g)(x), calculamos f(y), com y = g(x). Assim, é preciso que y = g(x) esteja no domínio de f, daí a explicação do domínio da composição.
Por exemplo, considerando as funções f e g do exercício anterior, temos que
(g o f)(x) = g(f(x)) = 2/(f(x) - 7) = 2/(2x^2 - 8 - 7) = 2/(2x^2 - 15), forall x != +- raiz(15/2)
Veja que, no domínio, tivemos que excluir todos os pontos tais f(x) não está em dom(g) = R \ {7}. Assim, eliminamos todos os valores de x reais, tais que f(x) = 2x^2 - 8 = 7.
Ainda considerando as funções f e g como no exercício anterior, determine a expressão e domínio de cada uma das composições abaixo.
Mostre que
integral0^1 16(x-1)x^4-2 x^3+4 x-4 d x=pi
Em cada um dos itens abaixo, verifique que a função y1 dada é uma solução da equação dada e encontre, a partir de y1, outra solução y2 da mesma equação, de forma que o conjunto {y1(x), y2(x)} seja linearmente independente. Mostre que o conjunto obtido é linearmente independente:
21a) x^2 y'' + x y' - 4 y = 0, y1 = x^2;