Em cada um dos itens abaixo, verifique se a reta
está contida no plano
.
(i)
.
(i)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para verificar se a reta
está dentro do plano
. A reta
é dada por
onde
é um número real, e o plano
é definido pela equação
. Para resolver isso, vamos precisar entender como representar uma reta e um plano no espaço, e verificar se todos os pontos da reta satisfazem a equação do plano.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a equação da reta
. Ela está na forma paramétrica:
Aqui,
é um ponto da reta, e
é o vetor diretor da reta. O parâmetro
pode variar em todos os números reais, dando todos os pontos da reta.
Passo 3
Agora, vamos olhar para a equação do plano
:
Essa é a forma geral de um plano no espaço tridimensional. Todos os pontos
que satisfazem essa equação estão no plano.
Passo 4
Para verificar se a reta está contida no plano, precisamos garantir que todos os pontos da reta também satisfazem a equação do plano. Isso significa que, se substituirmos as coordenadas da reta na equação do plano, a igualdade deve ser verdadeira para qualquer valor de
.
Passo 5
Vamos substituir as coordenadas da reta na equação do plano. A reta é dada por:
Substituindo esses valores na equação do plano:
Passo 6
Vamos simplificar a equação:
Vemos que a equação se reduz a
, o que é sempre verdadeiro, independente do valor de
.
Passo 7
Como a substituição das coordenadas da reta na equação do plano resultou em uma igualdade verdadeira para todos os valores de
, concluímos que todos os pontos da reta estão no plano.
Resposta
A reta
está contida no plano
.