Em cada um dos itens abaixo, verifique se a reta r está contida no plano pi.
(i) r: X=(1,0,0)+lambda(2,-1,0)(lambda in R), pi: x+2 y+3 z=1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para verificar se a reta está dentro do plano . A reta é dada por onde é um número real, e o plano é definido pela equação . Para resolver isso, vamos precisar entender como representar uma reta e um plano no espaço, e verificar se todos os pontos da reta satisfazem a equação do plano.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação da reta X = (1,0,0) + lambda(2,-1,0) . Ela está na forma paramétrica:
Aqui, é um ponto da reta, e é o vetor diretor da reta. O parâmetro pode variar em todos os números reais, dando todos os pontos da reta.

Passo 3

Agora, vamos olhar para a equação do plano x + 2y + 3z = 1 :
Essa é a forma geral de um plano no espaço tridimensional. Todos os pontos que satisfazem essa equação estão no plano.

Passo 4

Para verificar se a reta está contida no plano, precisamos garantir que todos os pontos da reta também satisfazem a equação do plano. Isso significa que, se substituirmos as coordenadas da reta na equação do plano, a igualdade deve ser verdadeira para qualquer valor de .

Passo 5

Vamos substituir as coordenadas da reta na equação do plano. A reta é dada por:
x = 1 + 2lambda
y = 0 - lambda = -lambda
z = 0 + 0lambda = 0
Substituindo esses valores na equação do plano:
(1 + 2lambda) + 2(-lambda) + 3(0) = 1

Passo 6

Vamos simplificar a equação:
1 + 2lambda - 2lambda + 0 = 1
1 = 1
Vemos que a equação se reduz a , o que é sempre verdadeiro, independente do valor de .

Passo 7

Como a substituição das coordenadas da reta na equação do plano resultou em uma igualdade verdadeira para todos os valores de , concluímos que todos os pontos da reta estão no plano.

Resposta

A reta está contida no plano .

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