Considere as bases beta=u1, u2, u3 e gamma=w1, w2, w3 de R^3, relacionadas da seguinte forma:
l w1=u1-u2-u3 w2=2 u2+3 u3 w3=3 u1+u3
Pede-se:
(a) Determine as matrizes de mudança de base [I]gamma^beta e [I]beta^gamma.
(b) Considere que o elemento u in R^3 tem por vetor de coordenadas
[u]beta=[l 1 2 3 ]
Determine o vetor de coordenadas do elemento u com relação à base gamma.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos duas bases, beta = u1, u2, u3 e gamma = w1, w2, w3, que estão relacionadas por certas combinações lineares. Nosso objetivo é:
a) Encontrar as matrizes de mudança de base [I]gamma^beta e [I]beta^gamma.
b) Dado um vetor u com coordenadas na base beta, encontrar suas coordenadas na base gamma.
Vamos precisar lembrar de como funciona a mudança de base e como construir essas matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na parte (a). Para encontrar a matriz de mudança de base [I]gamma^beta, precisamos expressar cada vetor da base gamma em termos da base beta. As relações que nos foram dadas são:
w1 = u1 - u2 - u3 w2 = 2u2 + 3u3 w3 = 3u1 + u3
Isso significa que cada vetor wi é uma combinação dos vetores uj.

Passo 3

Agora, para construir a matriz [I]gamma^beta, vamos colocar os coeficientes dessas combinações como colunas da matriz. Ou seja, para cada wi, vamos ter uma coluna com os coeficientes dos uj.
Vamos fazer isso:
  • Para w1 = u1 - u2 - u3, os coeficientes são 1, -1, -1.
  • Para w2 = 2u2 + 3u3, os coeficientes são 0, 2, 3.
  • Para w3 = 3u1 + u3, os coeficientes são 3, 0, 1.

Passo 4

Com esses coeficientes, a matriz de mudança de base [I]gamma^beta fica assim:
[I]gamma^beta = 1 & 0 & 3 -1 & 2 & 0 -1 & 3 & 1
Essa matriz nos ajuda a converter coordenadas da base beta para a base gamma.

Passo 5

Agora, para encontrar a matriz de mudança de base inversa, [I]beta^gamma, precisamos calcular a inversa de [I]gamma^beta. Então, vamos calcular ([I]gamma^beta)^-1.
Vamos calcular a inversa dessa matriz:
[I]beta^gamma = 1 & 0 & 3 -1 & 2 & 0 -1 & 3 & 1 ^-1
Após calcular, obtemos:
[I]beta^gamma = 35 & 35 & -95 35 & 45 & -65 25 & -15 & 35

Passo 6

Agora vamos para a parte (b). Temos o vetor u com coordenadas na base beta:
[u]beta = 1 2 3
Queremos encontrar [u]gamma, ou seja, as coordenadas de u na base gamma.

Passo 7

Para isso, usamos a matriz de mudança de base [I]beta^gamma que encontramos anteriormente. A relação é:
[u]gamma = [I]beta^gamma cdot [u]beta
Vamos fazer a multiplicação:
[u]gamma = 35 & 35 & -95 35 & 45 & -65 25 & -15 & 35 cdot 1 2 3
Calculando cada entrada:
  • Primeira linha: 35(1) + 35(2) + (-95)(3) = 35 + 65 - 275 = -185
  • Segunda linha: 35(1) + 45(2) + (-65)(3) = 35 + 85 - 185 = -75
  • Terceira linha: 25(1) + (-15)(2) + 35(3) = 25 - 25 + 95 = 95

Resposta

O vetor de coordenadas do elemento u com relação à base gamma é:
[u]gamma = -185 -75 95

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