Considere as bases e de , relacionadas da seguinte forma:
Pede-se:
(a) Determine as matrizes de mudança de base [I]gamma^beta e [I]beta^gamma.
(b) Considere que o elemento u in R^3 tem por vetor de coordenadas
[u]beta=[l 1 2 3 ]
Determine o vetor de coordenadas do elemento u com relação à base gamma.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos duas bases, beta = u1, u2, u3 e gamma = w1, w2, w3, que estão relacionadas por certas combinações lineares. Nosso objetivo é:
a) Encontrar as matrizes de mudança de base [I]gamma^beta e [I]beta^gamma.
b) Dado um vetor u com coordenadas na base beta, encontrar suas coordenadas na base gamma.
Vamos precisar lembrar de como funciona a mudança de base e como construir essas matrizes.
Passo 2
Primeiro, vamos focar na parte (a). Para encontrar a matriz de mudança de base [I]gamma^beta, precisamos expressar cada vetor da base gamma em termos da base beta. As relações que nos foram dadas são:
w1 = u1 - u2 - u3 w2 = 2u2 + 3u3 w3 = 3u1 + u3
Isso significa que cada vetor wi é uma combinação dos vetores uj.
Passo 3
Agora, para construir a matriz [I]gamma^beta, vamos colocar os coeficientes dessas combinações como colunas da matriz. Ou seja, para cada wi, vamos ter uma coluna com os coeficientes dos uj.
Vamos fazer isso:
Para w1 = u1 - u2 - u3, os coeficientes são 1, -1, -1.
Para w2 = 2u2 + 3u3, os coeficientes são 0, 2, 3.
Para w3 = 3u1 + u3, os coeficientes são 3, 0, 1.
Passo 4
Com esses coeficientes, a matriz de mudança de base [I]gamma^beta fica assim:
[I]gamma^beta = 1 & 0 & 3 -1 & 2 & 0 -1 & 3 & 1
Essa matriz nos ajuda a converter coordenadas da base beta para a base gamma.
Passo 5
Agora, para encontrar a matriz de mudança de base inversa, [I]beta^gamma, precisamos calcular a inversa de [I]gamma^beta. Então, vamos calcular ([I]gamma^beta)^-1.