Considere as bases e de , relacionadas da seguinte forma:
Pede-se:
(a) Determine as matrizes de mudança de base e .
(b) Considere que o elemento tem por vetor de coordenadas
Determine o vetor de coordenadas do elemento com relação à base .

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos duas bases, e , que estão relacionadas por certas combinações lineares. Nosso objetivo é:
a) Encontrar as matrizes de mudança de base e .
b) Dado um vetor com coordenadas na base , encontrar suas coordenadas na base .
Vamos precisar lembrar de como funciona a mudança de base e como construir essas matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na parte (a). Para encontrar a matriz de mudança de base , precisamos expressar cada vetor da base em termos da base . As relações que nos foram dadas são:
Isso significa que cada vetor é uma combinação dos vetores .

Passo 3

Agora, para construir a matriz , vamos colocar os coeficientes dessas combinações como colunas da matriz. Ou seja, para cada , vamos ter uma coluna com os coeficientes dos .
Vamos fazer isso:
  • Para , os coeficientes são , , .
  • Para , os coeficientes são , , .
  • Para , os coeficientes são , , .

Passo 4

Com esses coeficientes, a matriz de mudança de base fica assim:
Essa matriz nos ajuda a converter coordenadas da base para a base .

Passo 5

Agora, para encontrar a matriz de mudança de base inversa, , precisamos calcular a inversa de . Então, vamos calcular .
Vamos calcular a inversa dessa matriz:
Após calcular, obtemos:

Passo 6

Agora vamos para a parte (b). Temos o vetor com coordenadas na base :
Queremos encontrar , ou seja, as coordenadas de na base .

Passo 7

Para isso, usamos a matriz de mudança de base que encontramos anteriormente. A relação é:
Vamos fazer a multiplicação:
Calculando cada entrada:
  • Primeira linha:
  • Segunda linha:
  • Terceira linha:

Resposta

O vetor de coordenadas do elemento com relação à base é:

Exercícios relacionados

Em cada um dos itens abaixo, verifique se a reta está contida no plano .
(i) .
Em cada um dos itens abaixo, encontre equações paramétricas para a reta .
(ii) passa pelo e é perpendicular à reta de equação .
Sejam e matrizes de um espaço vetorial com produto interno , calcule em cada caso: