Em cada um dos itens abaixo, encontre equações paramétricas para a reta r.
(ii) r passa pelo P=(7,-7,2) e é perpendicular à reta de equação (x, y, z)=(2,0,-1)+t(1,5,1) (t in R).

Passo 1

Então, vamos resolver um exercício de geometria espacial! A gente precisa encontrar as equações paramétricas de uma reta . Sabemos que essa reta passa pelo ponto e é perpendicular a outra reta que tem a equação , onde é um número real. Para isso, vamos usar conceitos de vetores e retas no espaço tridimensional.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa que a reta u cdot v = 0 é perpendicular à outra reta dada. Quando duas retas são perpendiculares, os vetores diretores delas formam um ângulo de 90 graus, ou seja, o produto escalar entre esses vetores é zero.
A reta dada tem a direção do vetor 1 cdot a + 5 cdot b + 1 cdot c = 0 Rightarrow a + 5b + c = 0 . Vamos chamar o vetor diretor da reta de . Como é perpendicular à reta dada, temos:
Isso significa:

Passo 3

Agora, precisamos achar um vetor 5 + 5(-1) + c = 0 Rightarrow 5 - 5 + c = 0 Rightarrow c = 0 que satisfaça essa equação. Como temos uma equação com três incógnitas, podemos escolher dois valores e resolver para o terceiro. Por exemplo, vamos escolher e :
Então, um possível vetor diretor para é .

Passo 4

Com o ponto x = 7 + 5t y = -7 - t z = 2 e o vetor diretor , podemos escrever as equações paramétricas da reta :
onde é um parâmetro real.

Resposta

As equações paramétricas da reta x = 7 + 5t y = -7 - t z = 2 para todo t in R são:

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