Em cada um dos itens, calcular a média E(X) e a variância Var(X), usando a f.d.p da variável aleatória.
1a
Verifique se as expressões a seguir são funções densidade de probabilidade(assuma que elas se anulam fora dos intervalos especificados)
(a) f(x)=3 x, se 0 <= x <= 1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos que verificar se a função definida no intervalo é uma função densidade de probabilidade (f.d.p). Para isso, precisamos lembrar de dois requisitos básicos:
  1. Não-negatividade: A função deve ser maior ou igual a zero em todo o seu domínio.
  2. Integral Total Igual a 1: A área total sob a curva de no intervalo considerado deve ser igual a 1.
Vamos verificar cada um desses pontos passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos conferir se a função é não-negativa no intervalo dado.
A função é . Sabemos que está entre 0 e 1:
  • Quando , .
  • Quando , .
Como varia de 0 a 1, varia de 0 a 3. Portanto, é sempre maior ou igual a zero no intervalo .

Passo 3

Agora, vamos calcular a integral de integral0^1 3x , dx no intervalo de 0 a 1 para ver se ela realmente soma 1.
A integral de integral0^1 3x , dx = 3 integral0^1 x , dx = 3 [ 12x^2 ]0^1 = 3 ( 12(1)^2 - 12(0)^2 ) = 3 ( 12 - 0 ) = 32 de 0 a 1 é:
Vamos resolver essa integral:
Então, a integral total é , que é igual a 1,5.

Passo 4

Mas, para ser uma função densidade de probabilidade válida, a integral total precisa ser exatamente 1. No nosso caso, a integral deu , o que é diferente de 1.
Isso significa que no intervalo NÃO é uma função densidade de probabilidade válida, porque a área total sob a curva é maior que 1.

Resposta

A função definida no intervalo não é uma função densidade de probabilidade, já que a integral total é e não 1.

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