Em cada um dos itens, calcular a média e a variância , usando a f.d.p da variável aleatória.
1a
Verifique se as expressões a seguir são funções densidade de probabilidade(assuma que elas se anulam fora dos intervalos especificados)
(a) , se .
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos que verificar se a função definida no intervalo é uma função densidade de probabilidade (f.d.p). Para isso, precisamos lembrar de dois requisitos básicos:
Não-negatividade: A função deve ser maior ou igual a zero em todo o seu domínio.
Integral Total Igual a 1: A área total sob a curva de no intervalo considerado deve ser igual a 1.
Vamos verificar cada um desses pontos passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos conferir se a função é não-negativa no intervalo dado.
A função é . Sabemos que está entre 0 e 1:
Quando , .
Quando , .
Como varia de 0 a 1, varia de 0 a 3. Portanto, é sempre maior ou igual a zero no intervalo .
Passo 3
Agora, vamos calcular a integral de no intervalo de 0 a 1 para ver se ela realmente soma 1.
A integral de de 0 a 1 é:
Vamos resolver essa integral:
Então, a integral total é , que é igual a 1,5.
Passo 4
Mas, para ser uma função densidade de probabilidade válida, a integral total precisa ser exatamente 1. No nosso caso, a integral deu , o que é diferente de 1.
Isso significa que no intervalo NÃO é uma função densidade de probabilidade válida, porque a área total sob a curva é maior que 1.
Resposta
A função definida no intervalo não é uma função densidade de probabilidade, já que a integral total é e não 1.