Verifique se as expressões a seguir são funções densidade de probabilidade(assuma que elas se anulam fora dos intervalos especificados)
(d) f(x)=lr(2+x)4-x), & -2 <= x<0, (2-4)4, & 0 <= x <= 2

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos uma função definida por partes e precisamos verificar se ela é uma função densidade de probabilidade. Isso envolve duas coisas principais:
  1. Não-negatividade: A função deve ser maior ou igual a zero em todo o seu domínio.
  2. Integral total igual a 1: A área sob a curva da função deve somar exatamente 1.
Vamos precisar usar conceitos de cálculo, especificamente integrais, para resolver isso. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a não-negatividade da função. Olhando para a função dada:
f(x) = 2 + x4 - x & se -2 <= x < 0, 2 - 44 & se 0 <= x <= 2
Vamos simplificar a segunda parte:
2 - 44 = -24 = -12
Então, para , .
Agora, vamos verificar se é maior ou igual a zero em todo o domínio.

Passo 3

Primeiro, para 2 + x4 - x :
f(x) = -12
Vamos analisar o numerador e o denominador separadamente:
  • Numerador (2 + x): Para e , varia de 0 a 2. Ou seja, é sempre positivo ou zero.
  • Denominador (4 - x): Para , é maior que 4, já que subtrair um número negativo aumenta o valor. Portanto, também é sempre positivo.
Como tanto o numerador quanto o denominador são positivos, a fração inteira é positiva nesse intervalo.
Agora, para :
Aqui, claramente, a função é negativa, o que viola a condição de não-negatividade.

Passo 4

Já vimos que em , , que é negativo. Isso já nos diz que a função não atende à condição de ser não-negativa em todo o seu domínio.
Além disso, mesmo que verificássemos a integral, essa negatividade já impede que seja uma função densidade de probabilidade válida.

Resposta

A função não é uma função densidade de probabilidade, pois assume valores negativos no intervalo , o que viola a condição de não-negatividade necessária para funções densidade de probabilidade.

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