Verifique se as expressões a seguir são funções densidade de probabilidade(assuma que elas se anulam fora dos intervalos especificados)
(d)
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos uma função definida por partes e precisamos verificar se ela é uma função densidade de probabilidade. Isso envolve duas coisas principais:
Não-negatividade: A função deve ser maior ou igual a zero em todo o seu domínio.
Integral total igual a 1: A área sob a curva da função deve somar exatamente 1.
Vamos precisar usar conceitos de cálculo, especificamente integrais, para resolver isso. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a não-negatividade da função. Olhando para a função dada:
Vamos simplificar a segunda parte:
Então, para , .
Agora, vamos verificar se é maior ou igual a zero em todo o domínio.
Passo 3
Primeiro, para :
Vamos analisar o numerador e o denominador separadamente:
Numerador (2 + x): Para e , varia de 0 a 2. Ou seja, é sempre positivo ou zero.
Denominador (4 - x): Para , é maior que 4, já que subtrair um número negativo aumenta o valor. Portanto, também é sempre positivo.
Como tanto o numerador quanto o denominador são positivos, a fração inteira é positiva nesse intervalo.
Agora, para :
Aqui, claramente, a função é negativa, o que viola a condição de não-negatividade.
Passo 4
Já vimos que em , , que é negativo. Isso já nos diz que a função não atende à condição de ser não-negativa em todo o seu domínio.
Além disso, mesmo que verificássemos a integral, essa negatividade já impede que seja uma função densidade de probabilidade válida.
Resposta
A função não é uma função densidade de probabilidade, pois assume valores negativos no intervalo , o que viola a condição de não-negatividade necessária para funções densidade de probabilidade.