Em cada um dos itens, considere a região
limitada pelas curvas de equações dadas. Calcule o volume do sólido obtido pela rotação da região
em torno do eixo
dado.
(h)
;
.
(h)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular o volume de um sólido formado pela rotação da região
limitada pelas curvas
e
em torno da reta
. Para isso, vamos usar o método dos discos ou das cascas cilíndricas, que são técnicas de cálculo de volumes de sólidos de revolução.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região
. As curvas são
e
. Para encontrar onde elas se interceptam, igualamos as duas equações:
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Assim, as interseções ocorrem em
e
. Portanto, a região
está entre
e
.
Passo 3
Agora, como vamos girar essa região em torno da reta
, precisamos calcular a distância de cada ponto da região até essa reta. Usaremos o método das cascas cilíndricas, que é útil quando a rotação é em torno de uma linha paralela ao eixo de integração.
A fórmula para o volume usando cascas cilíndricas é:
Onde:
- A distância até a reta de rotação
é . - A altura da casca é a diferença entre as funções
e .
Passo 4
Vamos identificar os limites de integração. Já sabemos que
varia de 0 a 1. Portanto,
e
.
Substituindo na fórmula:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:
Passo 6
Agora, vamos integrar termo a termo:
Passo 7
Somando todos os resultados das integrais:
Como o volume não pode ser negativo, consideramos o valor absoluto:
Resposta
O volume do sólido é
unidades cúbicas.