Em cada um dos itens, considere a região R limitada pelas curvas de equações dadas. Calcule o volume do sólido obtido pela rotação da região R em torno do eixo E dado.
(h) R: y = x, y = raiz(x);
reta x = 2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular o volume de um sólido formado pela rotação da região limitada pelas curvas e em torno da reta . Para isso, vamos usar o método dos discos ou das cascas cilíndricas, que são técnicas de cálculo de volumes de sólidos de revolução.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região . As curvas são e . Para encontrar onde elas se interceptam, igualamos as duas equações:
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Assim, as interseções ocorrem em e . Portanto, a região está entre e .

Passo 3

Agora, como vamos girar essa região em torno da reta , precisamos calcular a distância de cada ponto da região até essa reta. Usaremos o método das cascas cilíndricas, que é útil quando a rotação é em torno de uma linha paralela ao eixo de integração.
A fórmula para o volume usando cascas cilíndricas é:
â
Onde:
  • A distância até a reta de rotação é .
  • A altura da casca é a diferença entre as funções e .

Passo 4

Vamos identificar os limites de integração. Já sabemos que varia de 0 a 1. Portanto, e .
Substituindo na fórmula:

Passo 5

Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:

Passo 6

Agora, vamos integrar termo a termo:

Passo 7

Somando todos os resultados das integrais:
Como o volume não pode ser negativo, consideramos o valor absoluto:

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

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