Em cada um dos itens, considere a região
limitada pelas curvas de equações dadas. Calcule o volume do sólido obtido pela rotação da região
em torno do eixo
dado.
(b)
;
.
(b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o volume de um sólido gerado pela rotação da região
em volta da reta
. A região
está delimitada pelas curvas
,
e
. Vamos usar conceitos de cálculo de volumes por integrais, especificamente o método dos discos ou das cascas cilíndricas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região
. As curvas
e
se intersectam quando
, ou seja, quando
. Assim, a região
está entre
e
, e entre
e
.
Passo 3
Como vamos rotacionar essa região em torno da reta
, vamos usar o método dos discos (ou anéis). Para isso, consideramos um pequeno elemento de área na horizontal, perpendicular ao eixo de rotação.
Passo 4
A fórmula para o volume usando o método dos discos é:
Onde:
-
é o raio externo do disco. -
é o raio interno do disco.
Passo 5
No nosso caso, o eixo de rotação é
. Portanto:
- O raio externo
é a distância da curva até , ou seja, . - Não há raio interno, já que a rotação é em torno da própria curva
, então .
Passo 6
Substituindo na fórmula:
Passo 7
Vamos expandir o termo ao quadrado:
Então, a integral fica:
Passo 8
Agora, vamos integrar termo a termo:
Passo 9
Aplicando os limites de integração de 1 a 3:
Simplificando:
Resposta
O volume do sólido é
unidades cúbicas.