Em cada um dos itens, considere a região R limitada pelas curvas de equações dadas. Calcule o volume do sólido obtido pela rotação da região R em torno do eixo E dado.
(b) R: y=3/x, y=1, x=1;
E: reta y=1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o volume de um sólido gerado pela rotação da região em volta da reta . A região está delimitada pelas curvas , e . Vamos usar conceitos de cálculo de volumes por integrais, especificamente o método dos discos ou das cascas cilíndricas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região . As curvas e se intersectam quando , ou seja, quando . Assim, a região está entre e , e entre e .

Passo 3

Como vamos rotacionar essa região em torno da reta , vamos usar o método dos discos (ou anéis). Para isso, consideramos um pequeno elemento de área na horizontal, perpendicular ao eixo de rotação.

Passo 4

A fórmula para o volume usando o método dos discos é:
Onde:
  • é o raio externo do disco.
  • é o raio interno do disco.

Passo 5

No nosso caso, o eixo de rotação é . Portanto:
  • O raio externo é a distância da curva até , ou seja, .
  • Não há raio interno, já que a rotação é em torno da própria curva , então .

Passo 6

Substituindo na fórmula:

Passo 7

Vamos expandir o termo ao quadrado:
Então, a integral fica:

Passo 8

Agora, vamos integrar termo a termo:

Passo 9

Aplicando os limites de integração de 1 a 3:
Simplificando:

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

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