Em cada um dos itens, considere a região limitada pelas curvas de equações dadas. Calcule o volume do sólido obtido pela rotação da região em torno do eixo dado.
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Passo 1
Ok, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o volume do sólido gerado pela rotação da região delimitada pelas curvas e em torno da reta . Para isso, vamos usar o **cálculo integral**, especificamente o **método dos anéis** (também conhecido como método dos discos). Precisamos primeiro entender bem as curvas que delimitam a região e depois aplicar a fórmula correta para encontrar o volume.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos de interseção das curvas e . Para isso, substituímos da segunda equação na primeira:
Resolvendo a equação quadrática:
Então, temos duas soluções:
Portanto, os pontos de interseção são e .
Passo 3
Agora, vamos visualizar a região . A curva é uma parábola que abre para cima, e a reta é uma linha reta que corta a parábola nos pontos que encontramos: e . A região está entre essas duas curvas, no intervalo de a .
Passo 4
Para calcular o volume pelo método dos anéis, precisamos considerar a distância de cada ponto da região até a reta de rotação . O volume é dado pela integral:
Onde:
- é a distância do ponto superior até a reta .
- é a distância do ponto inferior até a reta .
- e são os limites de integração ( e neste caso).
Neste caso, a curva superior é a reta e a curva inferior é a parábola . Portanto:
Passo 5
Agora, substituímos e na fórmula do volume:
Vamos expandir e simplificar a expressão dentro da integral:
Substituindo de volta na integral:
Agora, integramos termo a termo:
Calculamos os valores nos limites:
Para :
Para :
Convertendo para denominador comum (15):
Subtraindo:
Resposta
O volume do sólido gerado pela rotação da região em torno da reta é:
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