Em cada um dos itens, considere a região R limitada pelas curvas de equações dadas. Calcule o volume do sólido obtido pela rotação da região R em torno do eixo E dado.
© R: y=x^2, x+y=2;
E: reta y = -1.

Passo 1

Ok, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o volume do sólido gerado pela rotação da região R delimitada pelas curvas e em torno da reta . Para isso, vamos usar o cálculo integral, especificamente o método dos anéis (também conhecido como método dos discos). Precisamos primeiro entender bem as curvas que delimitam a região e depois aplicar a fórmula correta para encontrar o volume.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos de interseção das curvas e . Para isso, substituímos y da segunda equação na primeira:
Resolvendo a equação quadrática:
Então, temos duas soluções:
Portanto, os pontos de interseção são (1, 1) e .

Passo 3

Agora, vamos visualizar a região R. A curva é uma parábola que abre para cima, e a reta é uma linha reta que corta a parábola nos pontos que encontramos: (1, 1) e . A região R está entre essas duas curvas, no intervalo de a x = 1.

Passo 4

Para calcular o volume pelo método dos anéis, precisamos considerar a distância de cada ponto da região R até a reta de rotação . O volume é dado pela integral:
Onde:
  • R(x) é a distância do ponto superior até a reta .
  • r(x) é a distância do ponto inferior até a reta .
  • a e b são os limites de integração ( -2 e 1 neste caso).
Neste caso, a curva superior é a reta e a curva inferior é a parábola . Portanto:

Passo 5

Agora, substituímos R(x) e r(x) na fórmula do volume:
Vamos expandir e simplificar a expressão dentro da integral:
Substituindo de volta na integral:
Agora, integramos termo a termo:
Calculamos os valores nos limites:
Para x = 1:
Para :
Convertendo para denominador comum (15):
Subtraindo:

Resposta

O volume do sólido gerado pela rotação da região R em torno da reta é:
ú

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