Em cada um dos itens, considere a região
limitada pelas curvas de equações dadas. Calcule o volume do sólido obtido pela rotação da região
em torno do eixo
dado.
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;
.
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Passo 1
Ok, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o volume do sólido gerado pela rotação da região
delimitada pelas curvas
e
em torno da reta
. Para isso, vamos usar o cálculo integral, especificamente o método dos anéis (também conhecido como método dos discos). Precisamos primeiro entender bem as curvas que delimitam a região e depois aplicar a fórmula correta para encontrar o volume.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos de interseção das curvas
e
. Para isso, substituímos
da segunda equação na primeira:
Resolvendo a equação quadrática:
Então, temos duas soluções:
Portanto, os pontos de interseção são
e
.
Passo 3
Agora, vamos visualizar a região
. A curva
é uma parábola que abre para cima, e a reta
é uma linha reta que corta a parábola nos pontos que encontramos:
e
. A região
está entre essas duas curvas, no intervalo de
a
.
Passo 4
Para calcular o volume pelo método dos anéis, precisamos considerar a distância de cada ponto da região
até a reta de rotação
. O volume é dado pela integral:
Onde:
-
é a distância do ponto superior até a reta . -
é a distância do ponto inferior até a reta . -
e são os limites de integração ( e neste caso).
Neste caso, a curva superior é a reta
e a curva inferior é a parábola
. Portanto:
Passo 5
Agora, substituímos
e
na fórmula do volume:
Vamos expandir e simplificar a expressão dentro da integral:
Substituindo de volta na integral:
Agora, integramos termo a termo:
Calculamos os valores nos limites:
Para
:
Para
:
Convertendo para denominador comum (15):
Subtraindo:
Resposta
O volume do sólido gerado pela rotação da região
em torno da reta
é: