Em cada um dos itens, considere a região limitada pelas curvas de equações dadas. Calcule o volume do sólido obtido pela rotação da região em torno do eixo dado. (c) ; .

Passo 1

Ok, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o volume do sólido gerado pela rotação da região delimitada pelas curvas e em torno da reta . Para isso, vamos usar o **cálculo integral**, especificamente o **método dos anéis** (também conhecido como método dos discos). Precisamos primeiro entender bem as curvas que delimitam a região e depois aplicar a fórmula correta para encontrar o volume.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos de interseção das curvas e . Para isso, substituímos da segunda equação na primeira: Resolvendo a equação quadrática: Então, temos duas soluções: Portanto, os pontos de interseção são e .

Passo 3

Agora, vamos visualizar a região . A curva é uma parábola que abre para cima, e a reta é uma linha reta que corta a parábola nos pontos que encontramos: e . A região está entre essas duas curvas, no intervalo de a .

Passo 4

Para calcular o volume pelo método dos anéis, precisamos considerar a distância de cada ponto da região até a reta de rotação . O volume é dado pela integral: Onde: - é a distância do ponto superior até a reta . - é a distância do ponto inferior até a reta . - e são os limites de integração ( e neste caso). Neste caso, a curva superior é a reta e a curva inferior é a parábola . Portanto:

Passo 5

Agora, substituímos e na fórmula do volume: Vamos expandir e simplificar a expressão dentro da integral: Substituindo de volta na integral: Agora, integramos termo a termo: Calculamos os valores nos limites: Para : Para : Convertendo para denominador comum (15): Subtraindo:

Resposta

O volume do sólido gerado pela rotação da região em torno da reta é: ú

Exercícios relacionados

Determinar os intervalos de crescimento, decrescimento, os máximos e os mínimos locais, intervalos de concavidade para cima e para baixo e esboçar o gráfico das seguintes funções:
Um fabricante de relógios pode produzir um determinado relógio a um custo de por unidade. Está estimado que se o preço de venda do relógio for de reais cada, então o número de relógios vendidos por semana será de . Qual valor de tal que o lucro semanal sejá máximo?
Encontre o valor máximo absoluto e o valor mínimo absoluto da função dada no intervalo indicado.