Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma equação diferencial de primeira ordem:
Isso entra na matéria de Equações Diferenciais Lineares de Primeira Ordem. Para resolver, vamos precisar rearranjar a equação para encontrar uma solução geral e depois aplicar a condição inicial para determinar a constante.
Passo 2
Vamos começar colocando a equação na forma padrão de uma equação diferencial linear de primeira ordem, que é:
Para isso, dividimos todos os termos por 2:
Aqui, identificamos que
e
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar um fator integrante, que nos ajuda a simplificar a equação. O fator integrante
é dado por:
Substituindo
:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante
:
Simplificando o lado direito:
Passo 5
Observamos que o lado esquerdo da equação agora é a derivada de
:
Agora, integramos ambos os lados em relação a
:
Passo 6
A integração do lado esquerdo resulta em:
Simplificando:
Passo 7
Agora, resolvemos para
multiplicando ambos os lados por
:
Simplificando os expoentes:
Passo 8
Por fim, aplicamos a condição inicial
para encontrar a constante
:
Então,
.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
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Determinar os intervalos de crescimento, decrescimento, os máximos e os mínimos locais, intervalos de concavidade para cima e para baixo e esboçar o gráfico das seguintes funções:
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Em cada um dos itens, considere a região
limitada pelas curvas de equações dadas. Calcule o volume do sólido obtido pela rotação da região
em torno do eixo
dado.
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.
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