2 y' - y = e^(t / 3), y(0) = a

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma equação diferencial de primeira ordem:
Isso entra na matéria de Equações Diferenciais Lineares de Primeira Ordem. Para resolver, vamos precisar rearranjar a equação para encontrar uma solução geral e depois aplicar a condição inicial para determinar a constante.

Passo 2

Vamos começar colocando a equação na forma padrão de uma equação diferencial linear de primeira ordem, que é:
Para isso, dividimos todos os termos por 2:
Aqui, identificamos que e .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar um fator integrante, que nos ajuda a simplificar a equação. O fator integrante é dado por:
Substituindo :

Passo 4

Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante :
Simplificando o lado direito:

Passo 5

Observamos que o lado esquerdo da equação agora é a derivada de :
Agora, integramos ambos os lados em relação a :

Passo 6

A integração do lado esquerdo resulta em:
Simplificando:

Passo 7

Agora, resolvemos para multiplicando ambos os lados por :
Simplificando os expoentes:

Passo 8

Por fim, aplicamos a condição inicial para encontrar a constante :
Então, .

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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© R: y=x^2, x+y=2;
E: reta y = -1.