Um fabricante de relógios pode produzir um determinado relógio a um custo de R por unidade. Está estimado que se o preço de venda do relógio for de por unidade. Está estimado que se o preço de venda do relógio for de reais cada, então o número de relógios vendidos por semana será de reais cada, então o número de relógios vendidos por semana será de.
Qual valor de Qual valor de tal que o lucro semanal sejá máximo?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem um fabricante que produz relógios, e cada relógio custa R$ 15,00 para ser produzido. Se o preço de venda de cada relógio for de reais, então a quantidade vendida por semana será . Nosso objetivo aqui é descobrir qual valor de vai fazer o lucro semanal ser o maior possível. Para resolver isso, vamos trabalhar com a matemática de funções quadráticas, que é o conteúdo que vamos precisar.

Passo 2

Primeiro, vamos definir o que é lucro. Lucro é a diferença entre o que a gente ganha vendendo os produtos (receita) e o que a gente gasta para produzi-los (custo). Então, vamos calcular a receita e o custo.

Passo 3

A receita ( ) é o preço de venda por unidade multiplicado pela quantidade vendida:
Isso porque cada relógio é vendido por reais e a gente vende unidades por semana.

Passo 4

Agora, vamos calcular o custo ( ). O custo é o preço de produção por unidade multiplicado pela quantidade produzida, que é a mesma quantidade vendida:
Já que cada relógio custa R$ 15,00 para ser produzido.

Passo 5

Com a receita e o custo definidos, podemos calcular o lucro ( ):
Substituindo as expressões que encontramos:

Passo 6

Vamos simplificar a expressão do lucro:
Juntando os termos semelhantes:

Passo 7

Essa é uma função quadrática no formato , onde , e . Sabemos que o gráfico de uma função quadrática é uma parábola. Como o coeficiente de é negativo ( ), a parábola abre para baixo, o que significa que existe um ponto de máximo.

Passo 8

Para encontrar o valor de que maximiza o lucro, usamos a fórmula do vértice da parábola:
Substituindo e :

Resposta

O valor de que maximiza o lucro semanal é R$ 70,00.

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