Um fabricante de relógios pode produzir um determinado relógio a um custo de R por unidade. Está estimado que se o preço de venda do relógio for de por unidade. Está estimado que se o preço de venda do relógio for de reais cada, então o número de relógios vendidos por semana será de reais cada, então o número de relógios vendidos por semana será de.
Qual valor de x tal que o lucro semanal sejá máximo?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem um fabricante que produz relógios, e cada relógio custa R$ 15,00 para ser produzido. Se o preço de venda de cada relógio for de reais, então a quantidade vendida por semana será . Nosso objetivo aqui é descobrir qual valor de vai fazer o lucro semanal ser o maior possível. Para resolver isso, vamos trabalhar com a matemática de funções quadráticas, que é o conteúdo que vamos precisar.

Passo 2

Primeiro, vamos definir o que é lucro. Lucro é a diferença entre o que a gente ganha vendendo os produtos (receita) e o que a gente gasta para produzi-los (custo). Então, vamos calcular a receita e o custo.

Passo 3

A receita ( ) é o preço de venda por unidade multiplicado pela quantidade vendida:
Isso porque cada relógio é vendido por reais e a gente vende unidades por semana.

Passo 4

Agora, vamos calcular o custo ( ). O custo é o preço de produção por unidade multiplicado pela quantidade produzida, que é a mesma quantidade vendida:
Já que cada relógio custa R$ 15,00 para ser produzido.

Passo 5

Com a receita e o custo definidos, podemos calcular o lucro ( ):
Substituindo as expressões que encontramos:

Passo 6

Vamos simplificar a expressão do lucro:
Juntando os termos semelhantes:

Passo 7

Essa é uma função quadrática no formato , onde , e . Sabemos que o gráfico de uma função quadrática é uma parábola. Como o coeficiente de é negativo ( ), a parábola abre para baixo, o que significa que existe um ponto de máximo.

Passo 8

Para encontrar o valor de que maximiza o lucro, usamos a fórmula do vértice da parábola:
Substituindo e :

Resposta

O valor de que maximiza o lucro semanal é R$ 70,00.

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<html><head></head><body><div>Em cada um dos itens, considere a região <span class="math-inline " data-overflow=“visible”>
<mjx-container class=“MathJax” jax=“SVG”><svg style=“vertical-align: -0.048ex;” xmlns=“
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<mjx-container class=“MathJax” jax=“SVG”><svg style=“vertical-align: -0.048ex;” xmlns=“http://www.w3.org/2000/svg” width=“1.717ex” height=“1.593ex” role=“img” focusable=“false” viewBox=“0 -683 759 704”><title>R</title><g stroke=“currentColor” fill=“currentColor” stroke-width=“0” transform=“scale(1,-1)”><g data-mml-node=“math”><g data-mml-node=“mi”><path data-c=“1D445” d=“M230 637Q203 637 198 638T193 649Q193 676 204 682Q206 683 378 683Q550 682 564 680Q620 672 658 652T712 606T733 563T739 529Q739 484 710 445T643 385T576 351T538 338L545 333Q612 295 612 223Q612 212 607 162T602 80V71Q602 53 603 43T614 25T640 16Q668 16 686 38T712 85Q717 99 720 102T735 105Q755 105 755 93Q755 75 731 36Q693 -21 641 -21H632Q571 -21 531 4T487 82Q487 109 502 166T517 239Q517 290 474 313Q459 320 449 321T378 323H309L277 193Q244 61 244 59Q244 55 245 54T252 50T269 48T302 46H333Q339 38 339 37T336 19Q332 6 326 0H311Q275 2 180 2Q146 2 117 2T71 2T50 1Q33 1 33 10Q33 12 36 24Q41 43 46 45Q50 46 61 46H67Q94 46 127 49Q141 52 146 61Q149 65 218 339T287 628Q287 635 230 637ZM630 554Q630 586 609 608T523 636Q521 636 500 636T462 637H440Q393 637 386 627Q385 624 352 494T319 361Q319 360 388 360Q466 361 492 367Q556 377 592 426Q608 449 619 486T630 554Z”></path></g></g></g></svg></mjx-container></span> em torno do eixo <span class="math-inline " data-overflow=“visible”>
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<html><head></head><body><div>Determinar os intervalos de crescimento, decrescimento, os máximos e os mínimos locais, intervalos de concavidade para cima e para baixo e esboçar o gráfico das seguintes funções:<br>
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