Um fabricante de relógios pode produzir um determinado relógio a um custo de
por unidade. Está estimado que se o preço de venda do relógio for de
reais cada, então o número de relógios vendidos por semana será de
.
Qual valor de
tal que o lucro semanal sejá máximo?
Qual valor de
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem um fabricante que produz relógios, e cada relógio custa R$ 15,00 para ser produzido. Se o preço de venda de cada relógio for de
reais, então a quantidade vendida por semana será
. Nosso objetivo aqui é descobrir qual valor de
vai fazer o lucro semanal ser o maior possível. Para resolver isso, vamos trabalhar com a matemática de funções quadráticas, que é o conteúdo que vamos precisar.
Passo 2
Primeiro, vamos definir o que é lucro. Lucro é a diferença entre o que a gente ganha vendendo os produtos (receita) e o que a gente gasta para produzi-los (custo). Então, vamos calcular a receita e o custo.
Passo 3
A receita (
) é o preço de venda por unidade multiplicado pela quantidade vendida:
Isso porque cada relógio é vendido por
reais e a gente vende
unidades por semana.
Passo 4
Agora, vamos calcular o custo (
). O custo é o preço de produção por unidade multiplicado pela quantidade produzida, que é a mesma quantidade vendida:
Já que cada relógio custa R$ 15,00 para ser produzido.
Passo 5
Com a receita e o custo definidos, podemos calcular o lucro (
):
Substituindo as expressões que encontramos:
Passo 6
Vamos simplificar a expressão do lucro:
Juntando os termos semelhantes:
Passo 7
Essa é uma função quadrática no formato
, onde
,
e
. Sabemos que o gráfico de uma função quadrática é uma parábola. Como o coeficiente de
é negativo (
), a parábola abre para baixo, o que significa que existe um ponto de máximo.
Passo 8
Para encontrar o valor de
que maximiza o lucro, usamos a fórmula do vértice da parábola:
Substituindo
e
:
Resposta
O valor de
que maximiza o lucro semanal é R$ 70,00.