Determinar os intervalos de crescimento, decrescimento, os máximos e os mínimos locais, intervalos de concavidade para cima e para baixo e esboçar o gráfico das seguintes funções:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir quando a função está crescendo ou decrescendo, encontrar os pontos máximos e mínimos, ver onde ela é côncava para cima ou para baixo e, por fim, esboçar o gráfico dela. Para isso, vamos usar derivadas, que nos ajudam a entender o comportamento das funções.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada da função . A derivada nos diz a taxa de variação da função, ou seja, se ela está aumentando ou diminuindo em algum intervalo.
A função é . Vamos usar a regra da cadeia para derivar:
Passo 3
Agora que temos a primeira derivada , vamos descobrir onde ela é positiva, negativa ou zero. Isso nos ajuda a determinar os intervalos de crescimento e decrescimento da função.
Como é sempre positivo (porque a exponencial nunca é zero ou negativa), o sinal de depende apenas de .
- Se , ou seja, , então e a função está crescendo.
- Se , ou seja, , então e a função está decrescendo.
- Se , ou seja, , então , o que pode indicar um ponto máximo ou mínimo.
Passo 4
Vamos confirmar se é um ponto máximo ou mínimo. Para isso, podemos analisar a derivada segunda ou verificar o comportamento da primeira derivada ao redor desse ponto.
Como para , (função crescendo) e para , (função decrescendo), isso significa que é um ponto de máximo local.
Passo 5
Agora, vamos encontrar a segunda derivada para analisar a concavidade da função. A segunda derivada nos mostra como a taxa de variação da função está mudando, ou seja, se a curva está "sorrindo" para cima ou para baixo.
Primeiro, derivamos :
Simplificando:
Passo 6
Vamos analisar onde a segunda derivada é positiva ou negativa:
Resolvendo a desigualdade:
Isso nos dá:
Nesses intervalos, , então a função é côncava para cima. Entre e , , então a função é côncava para baixo.
Passo 7
Vamos resumir todas as informações:
- **Intervalos de Crescimento:**
- **Intervalos de Decrescimento:**
- **Ponto Máximo Local:** Em
- **Intervalos de Concavidade para Cima:** e
- **Intervalos de Concavidade para Baixo:**
Resposta
A função está crescendo para e decrescendo para . Ela possui um máximo local em . Além disso, a função é côncava para cima nos intervalos e , e côncava para baixo entre e . Com essas informações, podemos esboçar o gráfico da função destacando esses comportamentos.
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(c) ;
eixo
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(h) ;
.