Determinar os intervalos de crescimento, decrescimento, os máximos e os mínimos locais, intervalos de concavidade para cima e para baixo e esboçar o gráfico das seguintes funções:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir quando a função
está crescendo ou decrescendo, encontrar os pontos máximos e mínimos, ver onde ela é côncava para cima ou para baixo e, por fim, esboçar o gráfico dela. Para isso, vamos usar derivadas, que nos ajudam a entender o comportamento das funções.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada da função
. A derivada nos diz a taxa de variação da função, ou seja, se ela está aumentando ou diminuindo em algum intervalo.
A função é
. Vamos usar a regra da cadeia para derivar:
Passo 3
Agora que temos a primeira derivada
, vamos descobrir onde ela é positiva, negativa ou zero. Isso nos ajuda a determinar os intervalos de crescimento e decrescimento da função.
Como
é sempre positivo (porque a exponencial nunca é zero ou negativa), o sinal de
depende apenas de
.
- Se
, ou seja, , então e a função está crescendo. - Se
, ou seja, , então e a função está decrescendo. - Se
, ou seja, , então , o que pode indicar um ponto máximo ou mínimo.
Passo 4
Vamos confirmar se
é um ponto máximo ou mínimo. Para isso, podemos analisar a derivada segunda ou verificar o comportamento da primeira derivada ao redor desse ponto.
Como para
,
(função crescendo) e para
,
(função decrescendo), isso significa que
é um ponto de máximo local.
Passo 5
Agora, vamos encontrar a segunda derivada para analisar a concavidade da função. A segunda derivada nos mostra como a taxa de variação da função está mudando, ou seja, se a curva está “sorrindo” para cima ou para baixo.
Primeiro, derivamos
:
Simplificando:
Passo 6
Vamos analisar onde a segunda derivada
é positiva ou negativa:
Resolvendo a desigualdade:
Isso nos dá:
Nesses intervalos,
, então a função é côncava para cima. Entre
e
,
, então a função é côncava para baixo.
Passo 7
Vamos resumir todas as informações:
- Intervalos de Crescimento:
- Intervalos de Decrescimento:
- Ponto Máximo Local: Em
- Intervalos de Concavidade para Cima:
e - Intervalos de Concavidade para Baixo:
Resposta
A função
está crescendo para
e decrescendo para
. Ela possui um máximo local em
. Além disso, a função é côncava para cima nos intervalos
e
, e côncava para baixo entre
e
. Com essas informações, podemos esboçar o gráfico da função destacando esses comportamentos.