Determinar os intervalos de crescimento, decrescimento, os máximos e os mínimos locais, intervalos de concavidade para cima e para baixo e esboçar o gráfico das seguintes funções:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir quando a função está crescendo ou decrescendo, encontrar os pontos máximos e mínimos, ver onde ela é côncava para cima ou para baixo e, por fim, esboçar o gráfico dela. Para isso, vamos usar derivadas, que nos ajudam a entender o comportamento das funções.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada da função . A derivada nos diz a taxa de variação da função, ou seja, se ela está aumentando ou diminuindo em algum intervalo. A função é . Vamos usar a regra da cadeia para derivar:

Passo 3

Agora que temos a primeira derivada , vamos descobrir onde ela é positiva, negativa ou zero. Isso nos ajuda a determinar os intervalos de crescimento e decrescimento da função. Como é sempre positivo (porque a exponencial nunca é zero ou negativa), o sinal de depende apenas de . - Se , ou seja, , então e a função está crescendo. - Se , ou seja, , então e a função está decrescendo. - Se , ou seja, , então , o que pode indicar um ponto máximo ou mínimo.

Passo 4

Vamos confirmar se é um ponto máximo ou mínimo. Para isso, podemos analisar a derivada segunda ou verificar o comportamento da primeira derivada ao redor desse ponto. Como para , (função crescendo) e para , (função decrescendo), isso significa que é um ponto de máximo local.

Passo 5

Agora, vamos encontrar a segunda derivada para analisar a concavidade da função. A segunda derivada nos mostra como a taxa de variação da função está mudando, ou seja, se a curva está "sorrindo" para cima ou para baixo. Primeiro, derivamos : Simplificando:

Passo 6

Vamos analisar onde a segunda derivada é positiva ou negativa: Resolvendo a desigualdade: Isso nos dá: Nesses intervalos, , então a função é côncava para cima. Entre e , , então a função é côncava para baixo.

Passo 7

Vamos resumir todas as informações: - **Intervalos de Crescimento:** - **Intervalos de Decrescimento:** - **Ponto Máximo Local:** Em - **Intervalos de Concavidade para Cima:** e - **Intervalos de Concavidade para Baixo:**

Resposta

A função está crescendo para e decrescendo para . Ela possui um máximo local em . Além disso, a função é côncava para cima nos intervalos e , e côncava para baixo entre e . Com essas informações, podemos esboçar o gráfico da função destacando esses comportamentos.

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