Em cada um dos itens, considere a região
limitada pelas curvas de equações dadas. Calcule o volume do sólido obtido pela rotação da região
em torno do eixo
dado.
(b)
;
(b)
Passo 1
Vamos resolver um exercício que pede para calcular o volume do sólido formado ao girar a região
em torno de um eixo. A região
é delimitada pelas curvas
e
. Para resolver isso, vamos usar o método dos discos, que nos ajuda a encontrar volumes de sólidos de revolução usando integrais.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar os pontos onde as duas curvas se intersectam. Isso vai nos dar os limites de integração. Vamos igualar as duas equações para encontrar esses pontos:
Passo 3
Resolvendo a equação:
Então, as soluções são
e
. Portanto, as curvas se intersectam nos pontos
e
.
Passo 4
Agora, vamos determinar qual das duas funções está acima da outra no intervalo
. Escolhemos um valor dentro desse intervalo, por exemplo,
:
Como
, a curva
está acima de
nesse intervalo.
Passo 5
Usando o método dos discos, a fórmula para o volume
é:
onde
é a função superior (
) e
é a função inferior (
), e
e
são os limites de integração (
e
).
Passo 6
Substituindo as funções e os limites na fórmula:
Passo 7
Vamos expandir
:
Substituindo de volta na integral:
Passo 8
Agora, vamos integrar termo a termo:
Então, a integral fica:
Passo 9
Calculando nos limites de
a
:
Para
:
Para
:
Passo 10
Portanto, o volume é:
Resposta
O volume do sólido obtido pela rotação da regi��o
em torno do eixo
é
unidades cúbicas.
Exercícios relacionados
Calcule
Resp.:
.
Escreva as funções abaixo na forma de funções composta e encontre as derivadas parciais em relação a
e
.
Escreva a definição de uma função contínua no ponto
;
verifique se a função dada é uma solução para a equação diferencial (
e
são constantes).