Em cada um dos itens, considere a região R limitada pelas curvas de equações dadas. Calcule o volume do sólido obtido pela rotação da região R em torno do eixo E dado.
(b) R: y = 4x - x^2, y = x;

Passo 1

Vamos resolver um exercício que pede para calcular o volume do sólido formado ao girar a região R em torno de um eixo. A região R é delimitada pelas curvas e . Para resolver isso, vamos usar o método dos discos, que nos ajuda a encontrar volumes de sólidos de revolução usando integrais.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar os pontos onde as duas curvas se intersectam. Isso vai nos dar os limites de integração. Vamos igualar as duas equações para encontrar esses pontos:

Passo 3

Resolvendo a equação:
Então, as soluções são x = 0 e . Portanto, as curvas se intersectam nos pontos x = 0 e .

Passo 4

Agora, vamos determinar qual das duas funções está acima da outra no intervalo [0, 3]. Escolhemos um valor dentro desse intervalo, por exemplo, x = 1:
Como , a curva está acima de nesse intervalo.

Passo 5

Usando o método dos discos, a fórmula para o volume V é:
onde f(x) é a função superior ( ) e g(x) é a função inferior ( x), e a e b são os limites de integração ( 0 e ).

Passo 6

Substituindo as funções e os limites na fórmula:

Passo 7

Vamos expandir :
Substituindo de volta na integral:

Passo 8

Agora, vamos integrar termo a termo:
Então, a integral fica:

Passo 9

Calculando nos limites de 0 a :
Para :
Para x = 0:

Passo 10

Portanto, o volume é:

Resposta

O volume do sólido obtido pela rotação da regi��o R em torno do eixo E é unidades cúbicas.

Exercícios relacionados

Calcule
integral0^2 integral0^x integral0^y-x(2 y-x) d z d y d x
Resp.: 23.
Escreva as funções abaixo na forma de funções composta e encontre as derivadas parciais em relação a x e y.
z = raiz(x + y^2 + (x^2 * e^(-2 * y))^3)
Escreva a definição de uma função contínua no ponto (x0, y0);
verifique se a função dada é uma solução para a equação diferencial ( c1 e c2 são constantes). x^2 y'' - 2 x y' + 2 y = 0
y = c1 x + c2 x^2