Escreva as funções abaixo na forma de funções composta e encontre as derivadas parciais em relação a
e
.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a gente precisa fazer aqui. A questão pede para a gente reescrever a função dada como uma função composta e depois encontrar as derivadas parciais em relação a
e
. Para isso, vamos precisar usar conceitos de funções compostas e a regra da cadeia para derivadas parciais. Então, bora dividir isso em etapas para facilitar!
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função
como uma composição de funções. A função dada é:
Podemos decompor isso em funções menores para facilitar a derivação:
-
Função interna: Vamos chamar de
a parte que está dentro da raiz quadrada: -
Função externa: Agora,
é a raiz quadrada de :
Então, temos
como uma composição de
e
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
Para isso, usamos a regra da cadeia, que nos diz que:
Primeiro, calculamos
:
Agora, vamos calcular
:
Derivando em relação a
:
- A derivada de
em relação a é 1. - A derivada de
em relação a é 0, já que é considerado constante. - A derivada de
em relação a é , usando a regra da cadeia novamente.
Então,
Agora, juntando tudo:
Substituindo
de volta:
Passo 4
Agora, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
Novamente, usamos a regra da cadeia:
Já sabemos que
. Agora, vamos calcular
:
Derivando em relação a
:
- A derivada de
em relação a é 0. - A derivada de
em relação a é . - A derivada de
em relação a é , novamente usando a regra da cadeia.
Então,
Agora, juntando tudo:
Substituindo
de volta:
Resposta
As derivadas parciais da função
em relação a
e
são:
e
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Escreva as funções abaixo na forma de funções composta e encontre as derivadas parciais em relação a
e
.
Escreva as funções abaixo na forma de funções composta e encontre as derivadas parciais em relação a
e
.
Calcule
Resp.:
.
Em cada um dos itens, considere a região
limitada pelas curvas de equações dadas. Calcule o volume do sólido obtido pela rotação da região
em torno do eixo
dado.
(b) ;
(b)