Calcule
integral0^2 integral0^x integral0^y-x(2 y-x) d z d y d x
Resp.: 23.

Passo 1

Então, vamos resolver um cálculo de uma integral tripla. O enunciado pede para calcular a integral de sobre uma região definida pelos limites de integração: vai de 0 a 2, vai de 0 a , e vai de 0 a . Para resolver isso, precisamos entender como integrar múltiplas vezes, começando pela integral mais interna até a mais externa.

Passo 2

Primeiro, vamos integrar em relação a (2y - x) times (y - x - 0) = (2y - x)(y - x) . A integral interna é . Como não depende de , podemos tratar como uma constante em relação a . Então, a integral fica:

Passo 3

Agora, temos uma nova expressão para integrar em relação a (2y - x)(y - x) = 2y(y) - 2y(x) - x(y) + x^2 = 2y^2 - 2xy - xy + x^2 = 2y^2 - 3xy + x^2 . A integral fica integral0^x 2y^2 , dy = 23y^3 |0^x = 23x^3 . Vamos primeiro multiplicar os termos dentro do parêntese:
integral0^x -3xy , dy = -3x times 12y^2 |0^x = -3x2x^2 = -32x^3
Agora, integramos termo a termo:
integral0^x x^2 , dy = x^2 y |0^x = x^3
23x^3 - 32x^3 + x^3 = (23 - 32 + 1)x^3 = (46 - 96 + 66)x^3 = 16x^3
Somando tudo:

Passo 4

Agora, vamos integrar o resultado em relação a 16 times 14x^4 |0^2 = 124x^4 |0^2 = 124(16 - 0) = 1624 = 23 . A integral fica . Integrando:

Resposta

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