Em cada um dos itens, determine os valores de r para os quais a equação diferencial dada tem uma solução da forma y = e^(r t).
(b) y'' + y' - 6y = 0. Res: r = 2 ou r = -3.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma equação diferencial do tipo . O conteúdo que vamos usar para resolver isso é sobre equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes. Basicamente, queremos encontrar os valores de que fazem a solução da equação ter a forma . Para isso, vamos usar a equação característica.

Passo 2

Primeiro, vamos supor que a solução é . Quando a gente deriva isso, temos:
Agora, substituímos , e na equação diferencial original:

Passo 3

Agora, como nunca é zero, a gente pode dividir toda a equação por e ficar só com os coeficientes:
Essa é a nossa equação característica.

Passo 4

Vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de . A equação é:
Podemos usar a fórmula de Bhaskara:
Aqui, , e . Substituindo:

Passo 5

Calculando a raiz quadrada:
Então:

Resposta

Os valores de são ou .

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