Em cada um dos itens, determine os valores de
para os quais a equação diferencial dada tem uma solução da forma
.
(b)
. Res:
ou
.
(b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma equação diferencial do tipo
. O conteúdo que vamos usar para resolver isso é sobre equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes. Basicamente, queremos encontrar os valores de
que fazem a solução da equação ter a forma
. Para isso, vamos usar a equação característica.
Passo 2
Primeiro, vamos supor que a solução é
. Quando a gente deriva isso, temos:
Agora, substituímos
,
e
na equação diferencial original:
Passo 3
Agora, como
nunca é zero, a gente pode dividir toda a equação por
e ficar só com os coeficientes:
Essa é a nossa equação característica.
Passo 4
Vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de
. A equação é:
Podemos usar a fórmula de Bhaskara:
Aqui,
,
e
. Substituindo:
Passo 5
Calculando a raiz quadrada:
Então:
Resposta
Os valores de
são
ou
.