Resolva as equações diferenciais:
© y' = cos^2(x) * cos^2(y) Res: 4 tan(y) - 2 x - sen(2 x) = C se cos^2(y) != 0 também y = +- (2 n + 1) pi / 2 para n in N.

Passo 1

Vamos resolver a equação diferencial . Esse exercício está relacionado ao estudo de equações diferenciais ordinárias, especificamente as que podem ser separadas em variáveis. Para resolver, vamos precisar separar as variáveis e e então integrar ambos os lados da equação.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial de forma que todas as expressões envolvendo fiquem de um lado e as que envolvem do outro lado. Isso é conhecido como separação de variáveis.
Dividimos ambos os lados por e multiplicamos por :

Passo 3

Agora, vamos integrar ambos os lados da equação. Precisamos lembrar que:
E:
Para integrar , usamos a identidade trigonométrica:
Então:

Passo 4

Aplicando as integrações na equação separada:
Multiplicando ambos os lados por 4 para simplificar:
Reorganizando para deixar igual a uma constante:
Além disso, se , então , o que implica que:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Além disso, para .

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