Resolva as equações diferenciais:
©
Res:
se
também
para
.
©
Passo 1
Vamos resolver a equação diferencial
. Esse exercício está relacionado ao estudo de equações diferenciais ordinárias, especificamente as que podem ser separadas em variáveis. Para resolver, vamos precisar separar as variáveis
e
e então integrar ambos os lados da equação.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial de forma que todas as expressões envolvendo
fiquem de um lado e as que envolvem
do outro lado. Isso é conhecido como separação de variáveis.
Dividimos ambos os lados por
e multiplicamos por
:
Passo 3
Agora, vamos integrar ambos os lados da equação. Precisamos lembrar que:
E:
Para integrar
, usamos a identidade trigonométrica:
Então:
Passo 4
Aplicando as integrações na equação separada:
Multiplicando ambos os lados por 4 para simplificar:
Reorganizando para deixar igual a uma constante:
Além disso, se
, então
, o que implica que:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Além disso,
para
.