Desenhe o campo de direções para as equações diferenciais abaixo. Baseado no campo de direções, determine o comportamento de
quando
. Se esse comportamento depender do valor inicial de
em
, descreva sua dependência.
(d)
Res: para
temos
se
se
e
se
.
(d)
Passo 1
Vamos resolver uma equação diferencial dada por
. O conteúdo aqui envolve equações diferenciais de primeira ordem e campo de direções. Para resolver, vamos precisar encontrar os pontos onde
(chamados de pontos críticos) e analisar como a solução se comporta ao se aproximar desses pontos quando
vai para o infinito.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos resolvendo
. Isso nos dá:
Resolvendo a equação quadrática:
Portanto, os pontos críticos são
e
.
Passo 3
Agora, vamos analisar o sinal de
em cada intervalo definido pelos pontos críticos para entender o comportamento de
:
- Para
: Vamos escolher . Então, . Isso significa que está aumentando. - Para
: Escolhemos . Então, . Aqui, está diminuindo. - Para
: Escolhemos . Então, . Assim, está aumentando.
Passo 4
Com base nisso, podemos desenhar o campo de direções e observar que:
- Se
, continuará aumentando sem limites, ou seja, quando . - Se
e , tenderá a quando . - Se
, permanece constante em 2. - Se
, também aumenta sem limites, indo para quando .
Resposta
Para
, temos:
-
se ou , -
se , -
se .