Desenhe o campo de direções para as equações diferenciais abaixo. Baseado no campo de direções, determine o comportamento de y quando t -> infinito. Se esse comportamento depender do valor inicial de y em t = 0, descreva sua dependência.
(d) y' = y^2 + y - 6 Res: para t -> infinito temos y -> infinito se y(0) > 2, y -> -3 se y(0) < 2 e y = 2 se y(0) = 2.

Passo 1

Vamos resolver uma equação diferencial dada por . O conteúdo aqui envolve equações diferenciais de primeira ordem e campo de direções. Para resolver, vamos precisar encontrar os pontos onde (chamados de pontos críticos) e analisar como a solução se comporta ao se aproximar desses pontos quando vai para o infinito.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos resolvendo . Isso nos dá:
Resolvendo a equação quadrática:
Portanto, os pontos críticos são e .

Passo 3

Agora, vamos analisar o sinal de em cada intervalo definido pelos pontos críticos para entender o comportamento de :
  • Para : Vamos escolher . Então, . Isso significa que está aumentando.
  • Para : Escolhemos . Então, . Aqui, está diminuindo.
  • Para : Escolhemos . Então, . Assim, está aumentando.

Passo 4

Com base nisso, podemos desenhar o campo de direções e observar que:
  • Se , continuará aumentando sem limites, ou seja, quando .
  • Se e , tenderá a quando .
  • Se , permanece constante em 2.
  • Se , também aumenta sem limites, indo para quando .

Resposta

Para , temos:
  • se ou ,
  • se ,
  • se .

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