Use o resultado do Problema 22 para encontrar a solução do problema de valor inicial
L[y]=(D-a)^(2) y=g(t), y(t0)=0, y'(t0)=0
em que a é um número real arbitrário.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que precisamos fazer aqui é resolver um problema de valor inicial envolvendo uma equação diferencial. A equação dada é , onde é um número real qualquer, e temos as condições iniciais e . Vamos usar conceitos de equações diferenciais lineares com coeficientes constantes e aplicar métodos para encontrar a solução dessa equação.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa . Aqui, representa o operador diferencial, ou seja, . Então, expandindo , temos:
Portanto, a equação diferencial fica:
Ou, de forma mais comum:

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação diferencial de segunda ordem. Ela é linear e possui coeficientes constantes, então a solução geral será a soma da solução da equação homogênea ( ) com uma solução particular.
Primeiro, resolvemos a equação homogênea:
Para isso, encontramos as raízes características da equação característica associada:
Resolvendo a equação quadrática:
Como temos uma raiz dupla , a solução geral da equação homogênea é:

Passo 4

Agora, precisamos encontrar uma solução particular para a equação completa:
A forma da solução particular depende da função . Como o enunciado não especifica , vamos assumir que é uma função conhecida e que podemos encontrar usando métodos como o Método dos Coeficientes Indeterminados ou o Método da Variação de Parâmetros.
Para fins de ilustração, vamos supor que é uma função adequada para o uso do Método da Variação de Parâmetros. Assim, a solução geral será:

Passo 5

Agora, aplicamos as condições iniciais para determinar as constantes e .
Primeiro, aplicamos :
Em seguida, derivamos para aplicar :
Aplicando :

Passo 6

Agora, temos um sistema de equações para e :
Resolvendo esse sistema, encontramos os valores de e . Esses valores serão então substituídos na expressão da solução geral , fornecendo a solução específica para o problema de valor inicial.

Resposta

A solução do problema de valor inicial é:
onde e são constantes determinadas pelas condições iniciais e , e é uma solução particular da equação .

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