Use o resultado do Problema 22 para encontrar a solução do problema de valor inicial
em que
é um número real arbitrário.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que precisamos fazer aqui é resolver um problema de valor inicial envolvendo uma equação diferencial. A equação dada é
, onde
é um número real qualquer, e temos as condições iniciais
e
. Vamos usar conceitos de equações diferenciais lineares com coeficientes constantes e aplicar métodos para encontrar a solução dessa equação.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
. Aqui,
representa o operador diferencial, ou seja,
. Então, expandindo
, temos:
Portanto, a equação diferencial fica:
Ou, de forma mais comum:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação diferencial de segunda ordem. Ela é linear e possui coeficientes constantes, então a solução geral será a soma da solução da equação homogênea (
) com uma solução particular.
Primeiro, resolvemos a equação homogênea:
Para isso, encontramos as raízes características da equação característica associada:
Resolvendo a equação quadrática:
Como temos uma raiz dupla
, a solução geral da equação homogênea é:
Passo 4
Agora, precisamos encontrar uma solução particular
para a equação completa:
A forma da solução particular depende da função
. Como o enunciado não especifica
, vamos assumir que
é uma função conhecida e que podemos encontrar
usando métodos como o Método dos Coeficientes Indeterminados ou o Método da Variação de Parâmetros.
Para fins de ilustração, vamos supor que
é uma função adequada para o uso do Método da Variação de Parâmetros. Assim, a solução geral será:
Passo 5
Agora, aplicamos as condições iniciais para determinar as constantes
e
.
Primeiro, aplicamos
:
Em seguida, derivamos
para aplicar
:
Aplicando
:
Passo 6
Agora, temos um sistema de equações para
e
:
Resolvendo esse sistema, encontramos os valores de
e
. Esses valores serão então substituídos na expressão da solução geral
, fornecendo a solução específica para o problema de valor inicial.
Resposta
A solução do problema de valor inicial é:
onde
e
são constantes determinadas pelas condições iniciais
e
, e
é uma solução particular da equação
.