Para cada um dos itens a seguir, determinar: (g o f o h)'(2), sabendo que f(0)=1, h(2)=0, g'(1)=5, f'(0)=2, h'(2)=2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar a derivada da composição de três funções, ou seja, . Isso está dentro da matéria de Derivadas e Regras de Cadeia. Para resolver isso, vamos precisar usar a Regra da Cadeia, que nos ajuda a derivar funções compostas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa . Isso significa que a gente vai aplicar a função h em x, depois a função f no resultado dessa, e por último a função g no resultado de f. Então, .

Passo 3

Agora, para encontrar a derivada dessa composição, usamos a Regra da Cadeia para funções compostas. A derivada de g(f(h(x))) em relação a x é:
Ou seja, a gente multiplica as derivadas de cada função na cadeia.

Passo 4

Vamos substituir x por , já que queremos . Então temos:

Passo 5

Vamos agora usar os valores que foram dados:
Primeiro, calculamos :

Passo 6

Agora, substituímos na expressão da derivada:
Substituindo os valores:

Resposta

Portanto, .

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