Calcule a partir das expressões calculadas nos respectivos itens da questão anterior:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é para calcular a derivada da função inversa de no ponto , ou seja, , onde sabemos que . A matéria que estamos tratando aqui é cálculo, especificamente derivadas de funções inversas. Para resolver isso, vamos precisar entender como derivar uma função inversa e usar uma fórmula que relaciona a derivada da função original com a da sua inversa.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula da derivada da função inversa. Se é uma função diferenciável e inversível, então a derivada da inversa de no ponto é dada por:
Essa fórmula nos diz que para encontrar a derivada da inversa de em , basta calcular o inverso da derivada de no ponto que mapeia para .

Passo 3

Sabemos que . Isso significa que , já que a função inversa vai “desfazer” a aplicação de . Então, substituindo na fórmula:
Aqui, precisamos do valor de , que foi calculado na questão anterior (mesmo não tendo ela aqui, vamos assumir que sabemos esse valor ou expressá-lo como ).

Resposta

Portanto, a derivada da função inversa de no ponto é:

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Determine a expressão de , lembrando que :
Para cada um dos itens a seguir, determinar: , sabendo que
Determinar as derivadas das funções a seguir:
Determinar as derivadas das funções a seguir: