Calcule
a partir das expressões calculadas nos respectivos itens da questão anterior:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é para calcular a derivada da função inversa de
no ponto
, ou seja,
, onde sabemos que
. A matéria que estamos tratando aqui é cálculo, especificamente derivadas de funções inversas. Para resolver isso, vamos precisar entender como derivar uma função inversa e usar uma fórmula que relaciona a derivada da função original com a da sua inversa.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a fórmula da derivada da função inversa. Se
é uma função diferenciável e inversível, então a derivada da inversa de
no ponto
é dada por:
Essa fórmula nos diz que para encontrar a derivada da inversa de
em
, basta calcular o inverso da derivada de
no ponto que mapeia para
.
Passo 3
Sabemos que
. Isso significa que
, já que a função inversa vai “desfazer” a aplicação de
. Então, substituindo na fórmula:
Aqui, precisamos do valor de
, que foi calculado na questão anterior (mesmo não tendo ela aqui, vamos assumir que sabemos esse valor ou expressá-lo como
).
Resposta
Portanto, a derivada da função inversa de
no ponto
é:
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Determine a expressão de
, lembrando que
:
Para cada um dos itens a seguir, determinar:
, sabendo que
Determinar as derivadas das funções a seguir:
Determinar as derivadas das funções a seguir: