Determine a expressão de (f^{-1})'(f(x)), lembrando que (f^{-1})'(f(x)) = 1/f'(x): f(x) = sen(ln(x)); e^(-pi/2) < x < e^(pi/2)

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para determinar a expressão de (f^{-1})'(f(x)). A questão envolve a derivada de funções inversas, especificamente utilizando a fórmula . Para resolver, vamos precisar calcular a derivada de f(x), onde , usando a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada de . Para isso, usamos a regra da cadeia, que nos diz que a derivada de uma função composta é a derivada da função externa multiplicada pela derivada da função interna.
A função externa é , onde . A derivada de em relação a é . Agora, precisamos calcular a derivada da função interna , que é u.

Passo 3

Aplicando a regra da cadeia:
Então, a derivada de é f(x).

Passo 4

Agora que temos f'(x), podemos usar a fórmula fornecida para encontrar (f^{-1})'(f(x)):

Resposta

A expressão de (f^{-1})'(f(x)) é:

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