Para cada um dos itens a seguir, determinar: , sendo

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de cálculo envolvendo derivadas. A questão pede para encontrar , ou seja, a derivada da função no ponto zero. A gente vai usar conceitos de derivadas e manipulação de funções para chegar nessa resposta. Vamos precisar entender como derivar funções compostas e usar propriedades das derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação que a gente tem:
Nosso objetivo é achar . Para isso, vamos derivar ambos os lados dessa equação em relação a .

Passo 3

Vamos derivar o lado esquerdo da equação. Temos , onde . Pela regra da cadeia, a derivada é:
Calculando :
Então, a derivada do lado esquerdo fica:

Passo 4

Agora, vamos derivar o lado direito da equação. Temos . A derivada disso é:
Usamos novamente a regra da cadeia para , onde a derivada de é 3.

Passo 5

Agora, igualamos as derivadas dos dois lados:
Nosso próximo passo é avaliar essa equação no ponto onde queremos encontrar , ou seja, arrumar para que a expressão dentro de seja zero.

Passo 6

Queremos que o argumento de no lado esquerdo seja zero:
Resolvendo para :
Sabemos que , então:

Passo 7

Vamos agora substituir na equação das derivadas:
Simplificando:
Sabemos que , então:

Passo 8

Agora, vamos resolver essa equação para :
Vamos isolar :
Multiplicando ambos os lados por :

Resposta

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