Para cada um dos itens a seguir, determinar:
, sendo
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de cálculo envolvendo derivadas. A questão pede para encontrar
, ou seja, a derivada da função
no ponto zero. A gente vai usar conceitos de derivadas e manipulação de funções para chegar nessa resposta. Vamos precisar entender como derivar funções compostas e usar propriedades das derivadas.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação que a gente tem:
Nosso objetivo é achar
. Para isso, vamos derivar ambos os lados dessa equação em relação a
.
Passo 3
Vamos derivar o lado esquerdo da equação. Temos
, onde
. Pela regra da cadeia, a derivada é:
Calculando
:
Então, a derivada do lado esquerdo fica:
Passo 4
Agora, vamos derivar o lado direito da equação. Temos
. A derivada disso é:
Usamos novamente a regra da cadeia para
, onde a derivada de
é 3.
Passo 5
Agora, igualamos as derivadas dos dois lados:
Nosso próximo passo é avaliar essa equação no ponto onde queremos encontrar
, ou seja, arrumar
para que a expressão dentro de
seja zero.
Passo 6
Queremos que o argumento de
no lado esquerdo seja zero:
Resolvendo para
:
Sabemos que
, então:
Passo 7
Vamos agora substituir
na equação das derivadas:
Simplificando:
Sabemos que
, então:
Passo 8
Agora, vamos resolver essa equação para
:
Vamos isolar
:
Multiplicando ambos os lados por
:
Resposta
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Encontre a expressão da segunda derivada das funções dos seguintes itens da questão indicada e o seu valor nos pontos indicados: No ponto de abscissa
, no item a) da questão 10
Para cada uma das funções seguintes, determine as derivadas indicadas:
e
Para cada um dos itens a seguir, determinar:
, sabendo que
Determine a expressão de
, lembrando que
: