Em cada um dos itens a seguir, determine:
(b) Quantos números ímpares de 5 algarismos diferentes existem;
(b) Quantos números ímpares de 5 algarismos diferentes existem;
Passo 1
Vamos resolver o problema de quantos números ímpares de 5 algarismos diferentes existem. A matéria envolvida aqui é aquela que trata de contagem e arranjos, especificamente permutação com restrições. Para resolver, vamos precisar entender como distribuir os algarismos em cada posição do número, respeitando que todos sejam diferentes e que o número seja ímpar.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar que um número ímpar termina com um dígito ímpar. Os dígitos ímpares são: 1, 3, 5, 7 e 9. Portanto, temos 5 opções para o último algarismo.
Passo 3
Em seguida, vamos escolher o primeiro algarismo, que não pode ser zero (já que queremos um número de 5 dígitos) e também não pode ser igual ao último algarismo escolhido (para garantir que todos os algarismos sejam diferentes). Como já usamos um dos 5 dígitos ímpares no último lugar, restam 8 opções para o primeiro algarismo (9 dígitos possíveis de 1 a 9, menos 1 já usado).
Passo 4
Agora, para o segundo algarismo, podemos usar qualquer dígito de 0 a 9, exceto os dois já escolhidos para o primeiro e o último lugar. Assim, temos 8 opções restantes para o segundo algarismo.
Passo 5
Para o terceiro algarismo, seguimos a mesma lógica: qualquer dígito de 0 a 9, menos os três já utilizados nas posições anteriores. Portanto, temos 7 opções para o terceiro algarismo.
Passo 6
Por fim, para o quarto algarismo, escolhemos entre os dígitos restantes que não foram usados nas quatro posições anteriores. Isso nos dá 6 opções para o quarto algarismo.
Resposta
Multiplicando as opções de cada posição, temos:
Portanto, existem 13.440 números ímpares de 5 algarismos diferentes.